《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

22. (8分)为落实全民健身国家战略,丰富广大群众元旦期间的体育生活,展现市民健康向上的精神风貌,某市第四十届元旦越野跑于2025年1月1日在市体育中心门前举行,某校准备为学生制作$A$,$B$两种纪念章.经了解,每个$A$种纪念章比每个$B$种纪念章多4元,用1000元订制$A$种纪念章的数量与用800元订制$B$种纪念章的数量相同,$A$,$B$两种纪念章每个各为多少元?

答案： 22.解：设$B$种纪念章为$x$元/个，则$A$种纪念章为$(x + 4)$元/个，根据题意，得$\frac{1000}{x + 4} = \frac{800}{x}$，解得$x = 16$，检验：当$x = 16$时，$x(x + 4) \neq 0$，$\therefore$原分式方程的解为$x = 16$，$\therefore x + 4 = 20$，所以每个$A$种纪念章和$B$种纪念章分别为$20$元和$16$元。

23. (9分)如图,已知$\triangle ABC$是等腰三角形,$AB=AC$,$0^ { \circ }＜∠BAC＜60^ { \circ }$.
问题初探
(1) 如图①,分别以$AC$,$AB$为边作等边$\triangle ACE$和等边$\triangle ABD$,$CE$与$BD$相交于点$F$,则$AB$和$AE$的数量关系为AB = AE,$∠FBC$和$∠FCB$的数量关系为∠FBC = ∠FCB.
引导发现
(2) 如图②,连接$AF$并延长$AF$,交$BC$于点$G$,求证:$BG=CG$.
拓展延伸
(3) 如图③,作射线$EB$交$AF$的延长线于点$H$,请直接写出$∠AHE$的度数.

答案： 23.
(1)$AB = AE$ $\angle FBC = \angle FCB$
(2)证明：$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB$，又$\because \triangle ABD$，$\triangle ACE$都是等边三角形，$\therefore \angle ABD = \angle ACE = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABC - \angle ABD = \angle ACB - \angle ACE$，即$\angle FBC = \angle FCB$。$\therefore FB = FC$，又$\because AB = AC$，$\therefore AF$垂直平分$BC$，$\therefore BG = CG$。
(3)$\angle AHE$的度数为$60^{\circ}$ 【解析】设$\angle BAC = 2\alpha$，$\therefore \angle HAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \alpha$。$\because \angle BAC = 2\alpha$，$\angle CAE = 60^{\circ}$，$\therefore \angle BAE = \angle CAE - \angle BAC = 60^{\circ} - 2\alpha$，$\angle HAE = \angle HAB + \angle BAE = \alpha + 60^{\circ} - 2\alpha = 60^{\circ} - \alpha$，$\because AB = AC$，$AC = AE$，$\therefore AB = AE$。$\therefore \angle AEB = \angle ABE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BAE) = 60^{\circ} + \alpha$，在$\triangle AHE$中，$\angle AHE = 180^{\circ} - \angle HAE - \angle AEH = 60^{\circ}$。