《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

21. (9 分)2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相,“巳升升”的设计灵感来源于中华传统文化,整体造型参考了安阳出土的甲骨文中的“巳”字,呈现出憨态可掬又富有古意的形象.某商店销售一种“巳升升”的玩偶,第一次用2 160元购进一批后很快售完;该商店第二次购进该玩偶时,进价提高了20%,同样用2 160元购进的数量比第一次少了12件.
(1)求第一次购进的“巳升升”玩偶每件的进价;
(2)若两次购进的“巳升升”玩偶每件的售价均为50元,且全部售完.求两次的利润总和.

答案： 21.解:
(1)设第一次购进的“已升升”玩偶每件的进价x元,则第二次购进的玩偶每件的进价为(1 + 20%)x元.由题意，得$\frac{2160}{x} - \frac{2160}{(1 + 20\%)x} = 12$，解得x = 30.经检验,x = 30是原分式方程的解，且符合题意.答:第一次购进的“已升升”玩偶每件的进价为30元.
(2)由
(1)可得，第一次购进“已升升”玩偶的数量为2160÷30 = 72(件)，第二次购进“已升升”玩偶的数量为72 - 12 = 60(件).
∵第二次购进的“已升升”玩偶每件的进价为30×(1 + 20%) = 36(元)，
∴两次的利润总和为(50 - 30)×72 + (50 - 36)×60 = 2280(元).

22. (10 分)【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究:
①$(x + 1)(x + 5)=x^{2} + 6x + 5$;
②$(x - 3)(x - 2)=x^{2} - 5x + 6$;
③$(y + 4)(y - 2)=y^{2} + 2y - 8$.
我们发现,形如$(x + p)(x + q)$的两个多项式相乘,其结果一定为$x^{2} + (p + q)x + pq(p,q$为整数).因式分解是与整式乘法方向相反的变形,故有$x^{2} + (p + q)x + pq=(x + p)(x + q)$,即可将形如$x^{2} + (p + q)x + pq$的多项式因式分解成$(x + p)(x + q)(p,q$为整数).
【初步应用】
(1)用上面的方法分解因式:$a^{2} + 2a - 3=$(a - 1)(a + 3);
【类比应用】
(2)规律应用:若$a^{2} + (2m - 4)a - 8$可用以上方法进行因式分解,求整数$m$的所有可能值;
【拓展应用】
(3)分解因式:$(a + b)^{2} + 3(a + b) - 10$.

答案： 22.解:
(1)(a - 1)(a + 3)
(2)a² + (-1 + 8)a - 8 = (a - 1)(a + 8),a² + (1 - 8)a - 8 = (a + 1)(a - 8),a² + (-2 + 4)a - 8 = (a - 2)(a + 4),a² + (2 - 4)a - 8 = (a + 2)(a - 4),
∴整数2m - 4的值可能为 -1 + 8 = 7或1 - 8 = -7或 -2 + 4 = 2或2 - 4 = -2,解得$m = \frac{11}{2}$(舍去),$m = -\frac{3}{2}$(舍去),m = 3,m = 1.
∴整数m的值可能是1或3;
(3)原式 = (a + b)² + (-2 + 5)(a + b) + (-2×5) = (a + b - 2)(a + b + 5).