《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

22. (10分)【阅读理解】借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题.图1是一个平分角的仪器，其中$OD = OE$，$FD = FE$.
(1)如图2，将仪器放置在$\triangle ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D,E$分别在边$AB,AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$. 可得$AP$是$\angle BAC$的平分线.请说明理由.
(2)如图3，在(1)的条件下，过点$P$作$PQ \perp AB$于点$Q$，若$PQ = 6$，$AC = 9$，$\triangle ABC$的面积是60，求$AB$的长.
【拓展迁移】小明探究完角平分仪后将工具的原理迁移到尺规作图的原理，并思考利用尺规“三等分特殊角”的方法.在“三等分角”的探索过程中，小明发现了许多利用尺规三等分特殊角的方法，利用尺规三等分$45°$角的方法就是其中的一种，方法如下：①如图4，在$\angle AOB$的边$OB$上取一点$C$；②以$OC$为边在$OB$上方作等边$\triangle OCD$，作射线$OD$；③作$\angle BOD$的平分线$OE$，作$\angle EOB$的平分线$OF$，则射线$OE,OF$将$\angle AOB$三等分.
【联系运用】(3)如图5，$\angle AOB = 90°$，利用材料中的方法，将$\angle AOB$三等分.(要求：尺规作图并保留作图痕迹，标明字母).

答案：
22.
(1)证明：在△ADF和△AEF中，$\begin{cases}AD = AE\\FD = FE\\AF = AF\end{cases}$，
∴△ADF≌△AEF(SSS)，
∴∠DAF = ∠EAF，
∴AP是∠BAC的平分线；
(2)解：过点P作PG⊥AC于点G，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PQ = 6，AC = 9，△ABC的面积是60，
∴PG = PQ = 6，
∵S△ABC = S△ABP + S△APC = $\frac{1}{2}$AB·PQ + $\frac{1}{2}$AC·PG，
∴$\frac{1}{2}$AB×6 + $\frac{1}{2}$×9×6 = 60，
∴AB = 11；
(3)解：如图所示：