《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

18. 如图，在平面直角坐标系中，$A(-1,5)$，$B(-3,0)$，$C(-4,3)$.
(1)在图中作出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的图形$\triangle A_1B_1C_1$，并写出点$C_1$的坐标.
(2)求$\triangle ABC$的面积.
(3)请在$y$轴上作出点$P$，使得$PA + PB$最短.(不写作法，保留作图痕迹)

答案：
18.解:
(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求；C₁的坐标为(4,3)
(2)△ABC的面积$ = 3×5 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×5 = \frac{11}{2}；$
(3)如图，点P即为所求.

19. 如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点$A$，$B$出发，小明沿$AC$行走，小芳沿$BD$行走，两人分别同时到达点$C$，$D$，若$CB \perp AB$，$DA \perp AB$.
(1)$CB$与$DA$相等吗？为什么？
(2)若$\angle DAC = 60°$，求$\angle DBA$的度数.

答案： 19.解:
(1)CB = DA，理由如下：
∵两人行走速度相同，时间相等，
∴AC = BD.
∵CB⊥AB，DA⊥AB，
∴∠DAB = ∠CBA = 90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中，$\begin{cases}AC = BD\\AB = BA\end{cases}，$
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴CB = DA；
(2)
∵∠DAB = 90°，∠DAC = 60°，
∴∠CAB = ∠DAB - ∠DAC = 90° - 60° = 30°，
∵Rt△ABD≌Rt△BAC，
∴∠DBA = ∠CAB = 30°.

20. 在有理数运算、整式运算的学习中，我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律.请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
$1^2 - 0^2 = 1$，
$2^2 - 1^2 = 3$，
$3^2 - 2^2 = 5$，
……
(1)将11写成两个正整数平方差的形式：6² - 5² = 11；
(2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母$n(n ＞ 0$，且$n$为整数)的等式表示上述的规律为：n² - (n - 1)² = 2n - 1；
(3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
(4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数.这个命题是真命题(填“真”或“假”).

答案： 20.解:
(1)6² - 5²
(2)n² - (n - 1)² = 2n - 1
(3)n² - (n - 1)² = n² - (n² - 2n + 1) = n² - n² + 2n - 1 = 2n - 1.
(4)真　[解析]设两个相邻奇数分别为2n + 1和2n + 3，则(2n + 3)² - (2n + 1)² = [(2n + 3) + (2n + 1)][(2n + 3) - (2n + 1)] = 8(n + 1)，
∴两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，该命题是真命题.