《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

21. ( 9 分) 秋天是北京四季中最美的季节,深秋的北京香山更是景美如画.金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然,红叶黄花自一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景.小明和小亮都是登山爱好者.金秋十月、两人相约去香山爬山赏景.挑战香炉峰,小明沿北线步道上山,小亮沿南线步道上山,北线步道长度为$1 5 0 0 m$,南线步道长度为$2 9 5 0 m$.两人分别从各自步道起点同时出发,小明比小亮每小时少走$2 0 0 m$,结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是$3 : 5$,求两人走完各自步道全程分别用了多少小时.

答案： 21.解：设小明走完北线步道全程用了x小时，则小亮走完南线步道全程用了$\frac{5}{3}x$小时，由题意，得$\frac{1500}{x}=\frac{1500}{\frac{5}{3}x}-200$，解得$x=\frac{27}{20}$，经检验，$x=\frac{27}{20}$是原方程的解，且符合题意，
∴$\frac{5}{3}x=\frac{9}{4}$，答：小明走完北线步道全程用了$\frac{27}{20}$小时，则小亮走完南线步道全程用了$\frac{9}{4}$小时.

22. ( 10 分) 我们知道,“整式乘法” 与“因式分解” 是方向相反的变形.类似地,“几个分式相加” 与“将一个分式化成几个分式之和的形式” 也是方向相反的变形.我们称这种与“几个分式相加” 方向相反的变形为“分式分解”.
例如,将$\frac { 2 x - 1 } { x ( x - 1 ) }$ 分式分解: $\frac { 2 x - 1 } { x ( x - 1 ) } = \frac { x + ( x - 1 ) } { x ( x - 1 ) } = \frac { x } { x ( x - 1 ) } + \frac { x - 1 } { x ( x - 1 ) } = \frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x }$.
( 1 ) 将$\frac { 2 x + 1 } { x ( x + 1 ) }$ 分式分解的结果为$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}$;
( 2 ) 若$\frac { 5 x - 4 } { m x ^ { 2 } - 3 x + 1 }$ 可以分式分解为$\frac { p } { x - 1 } + \frac { q } { 2 x - 1 }$ ( 其中$m、p、q$ 是常数). 则$p = $1,$q = $3;
( 3 ) 当$x ＞ 1$ 时.判断$\frac { 2 x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 3 } - x ^ { 2 } }$ 与$\frac { 2 x + 1 } { x ( x + 1 ) }$ 的大小关系,并证明.

答案： 22.解：
(1)$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x}$
(2)1 3
(3)$\frac{2x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}}＞\frac{2x + 1}{x(x + 1)}$，证明如下：$\frac{2x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}}=\frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x - 1)}$，$\frac{2x + 1}{x(x + 1)}=\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)(x - 1)}=\frac{3x^{2}-1}{x^{2}(x + 1)(x - 1)}$，
∵x＞1，
∴x - 1＞0，$3x^{2}-1＞0$，
∴$\frac{2x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}}＞\frac{2x + 1}{x(x + 1)}$.