《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

12.(9 分)如图，在平面直角坐标系中，$A(1,3),B(4,2),C(0,6)$.
(1)作出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C$；
(2)直接写出$A_{1}$(-1，3)，$B_{1}$(-4，2)；
(3)在$x$轴上画出点$P$，使$PA + PB$的值最小(保留作图痕迹).

答案：
解：
(1)如图，△A₁B₁C即为所求；
(2)-1　3　-4　2
(3)如图,点P即为所求.

13.(9 分)如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC,\angle BAC = 120^{\circ}$，请按要求作答：
(1)请用尺规作$AB$边的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$；(保留痕迹，不写作法)
(2)若$DE = 3$，求线段$CE,BC$的长.

答案：
解：
(1)如图所示,DE即为所求；

(2)连接AE,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵DE垂直平分AB,
∴BE=AE,DE⊥AB,
∴BE=AE=2DE=6,
∴∠BAE=∠B=30°,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°,
∴∠EAC=90°,
∴CE=2AE=12,
∴BC=BE+CE=6+12=18.

14.(9 分)如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$边上一点，$CD = AB,\angle BDA = \angle B,AE$是$\triangle ABD$的中线.
(1)若$\angle BAD = 60^{\circ}$.
①求证：$\triangle ABD$是等边三角形；
②求$\angle C$的度数；
(2)过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$，若$BD = 2DF$，求证：$AD$平分$\angle EAC$.

答案：
(1)①证明：
∵∠BAD=60°,∠BDA=∠B,
∴∠BAD=∠B=∠BDA=60°,
∴△ABD是等边三角形；
②解：
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD.
∵CD=AB,
∴CD=AD,
∴∠DAC=∠C,
∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C.
∵∠BDA=60°,
∴∠C=30°;
(2)证明：
∵∠BDA=∠B,
∴AB=AD.
∵AE是△ABD的中线，
∴AE⊥BD,BE=DE,
∴∠AED=90°,BD=2DE.
∵DF⊥AC,BD=2DF,
∴∠AFD=90°=∠AED,DE=DF.
∴点D在∠EAC的平分线上,
∴AD平分∠EAC.

15.(9 分)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ},\angle CAB$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，过点$D$作$DE\perp AB$，垂足为$E$.此时点$E$恰为$AB$的中点.
(1)求$\angle CAD$的大小；
(2)若$BC = 9$，求$DE$的长.

答案： 解：
(1)
∵DE⊥AB且E为AB的中点，
∴DE垂直平分AB，
∴AD=BD,
∴∠B=∠BAD.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD.
∵∠C=90°,
∴3∠CAD=90°,
∴∠CAD=30°;
(2)
∵AD是∠CAB的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DC=DE.
∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°,
∴BD=2DE,
∴BD=2DC.
∵BC=9,
∴BD+CD=9,
∴3DE=9,
∴DE=3.