《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

7.学习情境·命题证明(9 分)证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\angle C = \angle C' = 90^{\circ},AC = A'C'$,$AD$与$A'D'$分别为$BC,B'C'$边上的中线且AD=A'D'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

答案： 解：AD=A'D'　Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
证明：
∵∠C=∠C'=90°,AD=A'D',AC=A'C',
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),
∴CD=C'D'.
∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，
∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，
∴BC=2CD,B'C'=2C'D',
∴BC=B'C',在△ABC和△A'B'C'中，$\begin{cases}AC=A'C' \\ \angle C=\angle C' \\ BC=B'C'\end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).

8.(8 分)如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ},AB = AD$，求证：$CO$垂直平分$BD$.

答案： 证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，$\begin{cases}AC=AC \\ AB=AD\end{cases}$，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴BC=DC,
∴点C在BD的垂直平分线上.
∵AB=AD,
∴点A在BD的垂直平分线上,
∴AC是BD的垂直平分线,
∴CO垂直平分BD.

9.(9 分)如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$AC$上一点，$BF// AC,DF$交$BC$于点$E,DE = EF$.
(1)求证：$\triangle CDE≌\triangle BFE$；
(2)若$AC = 8,BF = 6$，求$AD$的长.

答案：
(1)证明：
∵BF//AC,
∴∠C=∠EBF,∠CDE=∠BFE，在△CDE和△BFE中，$\begin{cases}\angle C=\angle EBF \\ \angle CDE=\angle BFE \\ DE=FE\end{cases}$
∴△CDE≌△BFE(AAS);
(2)解：
∵△CDE≌△BFE,
∴CD=BF=6,
∴AD=AC-CD=8-6=2.