《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

21. 如图，在$\triangle ABC$中.$\angle ACB = 90°$，$\angle A = 30°$.
(1)用无刻度的直尺和圆规作边$AB$的垂直平分线，分别交$AB$、$AC$于点$D$，$E$(不写作法，保留作图痕迹).
(2)若$AE = 4$ cm，求$CE$的长度.
(3)连接$CD$，请判断$\triangle BCD$的形状，并说明理由.

答案：
21.解:
(1)如图所示，直线DE即为所求；

(2)连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE = AE = 4cm，
∴∠ABE = ∠A = 30°，
∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴∠ABC = 90° - 30° = 60°，
∴∠CBE = 60° - 30° = 30°，
∴$CE = \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2}×4 = 2cm；$
(3)△BCD为等边三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴$AD = BD = \frac{1}{2}AB，$
∵∠A = 30°，∠ACB = 90°，
∴$BC = \frac{1}{2}AB，$
∴BD = BC，
∵∠ABC = 60°，
∴△BCD为等边三角形.

22. 【教材呈现】
改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量$a$ t，原来产$m$ t玉米的一块土地，现在的总产量增加了20 t.原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？
【问题解决】小明在解决这个问题时，先审题，找出了已知量与未知量之间的关系：
①原来的公顷数=现在的公顷数
②现在每公顷产量= 原来每公顷产量 +$a$
③现在的总产量 = 原来总产量 + 20
④总产量=每公顷产量×公顷数
他通过设原来的公顷数为$x$公顷，列出方程：$\frac{m + 20}{x} = \frac{m}{x} + a$，从而解决了问题.
(1)请你把上面横线上的内容补充完整.
【过程感悟】
在建立方程时，他确定了一个量“现在每公顷产量”，用$\frac{m + 20}{x}$和$\frac{m}{x} + a$两种形式来表示这个量，建立方程，这是列方程的核心.
【方法应用】
(2)通过上面的感悟，你有新的想法吗？请你尝试用另一种方法，列方程解决这个问题.

答案： 22.解:
(1)②原来每公顷产量　③现在的总产量
(2)设原来玉米平均每公顷产量是xt，则现在玉米平均每公顷产量是(x + a)t，依题意，得$\frac{m}{x} = \frac{m + 20}{x + a}，$解得$x = \frac{am}{20}. $检验：由于a，m都是正数，当$x = \frac{am}{20}$时，x(x + a)≠0，
∴$x = \frac{am}{20}$是原分式方程的解.