《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

23. (10 分)如图,已知$\triangle ABC$中,$\angle B=\angle C,AB=10,BC=8$,点$D$为$AB$的中点,如果点$P$在线段$BC$上以每秒2个单位长度的速度由点$B$向点$C$运动,同时,点$Q$在线段$CA$上以每秒$a$个单位长度的速度由点$C$向点$A$运动,设运动时间为$t$秒$(0 \leq t ＜ 3)$.
(1)用含$t$的代数式表示$PC$的长:$PC=$8 - 2t;
(2)若点$P,Q$的运动速度相等,经过1.5秒后,$\triangle BPD$与$\triangle CQP$是否全等,请说明理由;
(3)若点$P,Q$的运动速度不相等,当$a$为多少时,能够使$\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等?

答案： 23.解:
(1)8 - 2t
(2)△BPD与△CQP全等.理由如下:当t = 1.5,a = 2时,PB = CQ = 3,
∴PC = BC - PB = 5,
∵∠B = ∠C,
∴AC = AB = 10,
∵D是AB的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$AB = 5,
∴BD = PC = 5,在△CQP和△BPD中，$\begin{cases} PC = DB \\ \angle C = \angle B \\ CQ = BP \end{cases}$，
∴△CQP≌△BPD(SAS);
(3)
∵点P,Q的运动速度不相等，
∴PB ≠ CQ,当△BPD与△CQP全等,且∠B = ∠C,
∴BP = PC = 4,CQ = BD = 5,
∵BP = 2t = 4,CQ = at = 5,
∴t = 2,
∴2a = 5,
∴a = $\frac{5}{2}$，
∴当a = $\frac{5}{2}$时,能够使△BPD与△CQP全等.