《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

8. 如图,点$E,F$在$AC$上,$AD = BC$,$DF = BE$,要使$\triangle ADF\cong\triangle CBE$,还需要添加的一个条件是(C)


A.$AD// BC$
B.$\angle A=\angle C$
C.$\angle D=\angle B$
D.$DF// BE$

答案： 8.C【解析】当∠D=∠B时,在△ADF和△CBE中,
$\begin{cases}AD=BC\\∠D=∠B\\DF=BE\end{cases}$
∴△ADF≌△CBE(SAS).故选C.

9. 如图,在等边三角形$ABC$中,$BD\perp AC$,$BF = BD$,则$\angle CDF$的度数是(B)

A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$25^{\circ}$

答案： 9.B【解析】由题意可知$∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=30°,∠BDC=90°,$
∵BF=BD,
∴$∠BDF=∠BFD=\frac{180° - ∠DBF}{2}=75°,$
∴∠CDF=∠BDC - ∠BDF=15°.故选B.

10. 如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC = 10$,$AD$是$BC$边的中线,点$E$是$AD$上的动点,点$F$是$AB$边上的动点,若$BE + EF$的最小值为$9.6$,则$\triangle ABC$的面积为(B)

A.$96$
B.$48$
C.$38$
D.$24$

答案： 10.B【解析】连接CE,CF,
∵AB=AC=10,AD是BC边的中线,
∴直线AD是等腰三角形ABC的对称轴,
∴BE=CE,
∴CE+EF=BE+EF≥CF,又
∵点F是AB边上的动点,
∴当CF是AB边上的高时,BE+EF取最小值,
∵BE+EF的最小值为9.6,
∴AB边上的高为9.6,
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×10×9.6=48.$故选B.

11. 若分式$\frac{1}{x - 4}$有意义,则$x$的取值范围是x≠4.

答案： 11.x≠4

12. 已知长方形的面积为$6a^{2}+15ab$,长为$3a$,则该长方形的宽为2a+5b.

答案： 12.2a+5b【解析】根据题意可知,该长方形的宽为(6a²+15ab)÷3a=2a+5b.

13. 将一副三角板$ABC$和$DEF$按图示放置,直角顶点$E$在$AC$边上,$D,B,C,F$四点共线,则$\angle CEF$的度数为15°.

答案： 13.15°【解析】
∵图中是一副三角板的示意图,
∴∠BCA=45°,∠F=30°,
∴∠CEF=∠BCA - ∠F=45° - 30°=15°.

14. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$AD$平分$\angle BAC$,交$BC$于点$D$,$DE\perp AC$,垂足为$E$,若$BD = 4$,则$DC$的长为8.

答案： 14.8【解析】由题意可知AD为∠BAC的平分线,DB⊥AB,DE⊥AC,
∴BD=DE=4,在Rt△ABC中,∠C=180° - ∠B - ∠BAC=30°,在Rt△DEC中,∠C=30°,
∴DC=2DE=8.

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$.点$D$在边$BC$上运动($D$不与$B,C$重合),连接$AD$,作$\angle ADE = 30^{\circ}$,使$DE$交边$AB$于点$E$.在点$D$的运动过程中,当$\triangle ADE$是等腰三角形时,$\angle CDA =$60°或105°.

答案： 15.60°或105°【解析】
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°.当△ADE为等腰三角形时分三种情况:①当AD=AE时,∠ADE=30°,
∴∠AED=∠ADE=30°,
∴∠DAE=180° - ∠ADE - ∠AED=120°.
∵∠BAC=180° - ∠B - ∠C=120°,点D不与点B,C重合,
∴不合题意;②当DA=DE时,∠ADE=30°,
∴$∠DAE=∠DEA=\frac{1}{2}(180° - ∠ADE)=75°,$
∴∠CDA=∠BAD+∠B=30°+75°=105°;③当EA=ED时,∠ADE=30°,
∴∠EAD=∠EDA=30°,
∴∠CDA=∠BAD+∠B=30°+30°=60°.综上所述,∠CDA为60°或105°.

16. (10分)(1)因式分解:$a^{3}-4a$;
(2)计算:$(x + y)^{2}-x(x - 3y)$.

答案： 16.解:
(1)原式=a(a² - 4)=a(a + 2)(a - 2);
(2)原式=x²+2xy+y² - x²+3xy=y²+5xy.