《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

22. (10分)小亮学习多项式研究了多项式值为$0$的问题,发现当$mx + n = 0$或$px + q = 0$时,多项式$A=(mx + n)(px + q)=mpx^{2}+(mq + np)x + nq$的值为$0$,把此时$x$的值称为多项式$A$的零点.
(1)已知多项式$(3x - 1)(x + 2)$,则此多项式的零点为;
(2)已知多项式$B=(x - 2)(x + m)=x^{2}+(a - 1)x-3a$有一个零点为$2$,求多项式$B$的另一个零点;
(3)小亮继续研究$(x - 4)(x - 2)$,$x(x - 6)$及$(x-\frac{5}{2})(x-\frac{7}{2})$等,发现在$x$轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线$x = 3$对称,他把这些多项式称为“$3 -$系多项式”.若多项式$M=(2x - b)(cx - 7c)=ax^{2}-(8a - 4c)x + 5b - 4$是“$3 -$系多项式”,则$a =$,$b =$,$c =$.

答案： 22.解$:(1)\frac{1}{3}$或 - 2
(2)把x=2代入B,得B=4+2(a - 1)-3a=0,
∴a=2,把a=2代入B,得B=x²+x - 6=(x - 2)(x + 3),令x + 3=0,
∴x=-3.
(3)2 -2 1【解析】
∵M=(2x - b)(cx - 7c)=0,解得$x=\frac{b}{2}$或x=7;
∴M的两个零点分别是$\frac{b}{2}$或7,根据“3 - 系多项式”的定义,有$\frac{b}{2}+7=6,$
∴b=-2,把b=-2代入M,得M=(2x - b)(cx - 7c)=2cx² - 12cx - 14c.
∵M=ax²-(8a - 4c)x+5b - 4,
∴a=2c,5b - 4=-14c,
∴c=1,a=2.

23. (11分)【教材呈现】
活动 用全等三角形研究“筝形”

如图,四边形$ABCD$中,$AD = CD$,$AB = CB$.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.请你自己画一个筝形,用测量、折纸等方法猜想筝形的角,对角线有什么性质,然后用全等三角形的知识证明你的猜想.
请结合教材内容,解决下面问题:
【概念理解】
(1)如图1,在正方形网格中,点$A,B,C$是网格线交点,请在网格中画出筝形$ABCD$.
【性质探究】
(2)文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”,请你帮他将证明过程补充完整.
已知:如图2,在筝形$ABCD$中,$AB = AD$,$BC = DC$.
求证:$\angle ABC=\angle ADC$.
证明:.
(3)如图3,连接筝形$ABCD$的对角线$AC,BD$交于点$O$,欢欢认真思考得出了下列结论:
①对角线$BD$平分一组对角$\angle ABC$和$\angle ADC$;
②对角线$AC$平分一组对角$\angle BAD$和$\angle BCD$;
③$AC$垂直平分$BD$;
④$BD$垂直平分$AC$;
⑤任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
你认为正确的结论有;(只需填序号)
【拓展应用】
(4)如图4,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle C = 80^{\circ}$,点$D,E$分别是边$AB,AC$上的动点,当四边形$CEDB$为筝形时,请直接写出$\angle AED$的度数.

答案：
23.
(1)解:如图,四边形ABCD即为所画的筝形;

(2)证明:连接AC,在△ABC和△ADC中,
$\begin{cases}AC=AC\\AB=AD\\BC=DC\end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠ABC=∠ADC;
(3)②③⑤【解析】在△ABC与△ADC中,AB=AD,CB=CD,
∴∠ABD=∠ADB,∠CBD=∠CDB,
∴∠ABD不一定等于∠CBD,无法证明对角线BD一定平分一组对角∠ABC和∠ADC,①错误;由
(2)得△ABC≌△ADC,
∴∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD,即AC平分一组对角∠BAD和∠BCD,②正确;在△ABD与△CBD中,AB=AD,CB=CD,
∴A,C在线段BD的中垂线上,
∴AC垂直平分BD,③正确;在△ABC与△ADC中,AB不一定等于BC,无法证明BD一定垂直平分AC,④错误;由③知,AC垂直平分BD,四边形ABCD的面积为$S△ABD+S△CBD=\frac{1}{2}BD·AO+\frac{1}{2}BD·CO=\frac{1}{2}BD·AC,$
∴任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半,⑤正确.综上所述②③⑤正确.
(4)∠AED的度数为50°或110°.【解析】分两种情况:①当筝形CBDE中,∠BDE=∠C=80°时,
∵∠A=30°,
∴∠AED=∠BDE - ∠A=50°;②当筝形CBDE中,∠CED=∠B时,
∴∠B=180° - ∠A - ∠C=70°,与
(2)同理可得,∠CED=∠B=70°,
∴∠AED=180° - ∠CED=110°.综上所述,当四边形CEDB为筝形时,∠AED的度数为50°或110°.