《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

9. (10分)小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点$O$处用一根细绳悬挂一个小球$A$，小球$A$可以自由摆动，如图，$OA$表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从$OA$摆到$OB$位置，此时过点$B$作$BD⊥OA$于点$D$，当小球摆到$OC$位置时，$OB$与$OC$恰好垂直（图中的$A$、$B$、$O$、$C$在同一平面上），过点$C$作$CE⊥OA$于点$E$，测得$BD=8 cm$，$OA=17\text{ cm$.
(1) 求证：$∠COE=∠B$；
(2) 求$AE$的长.

答案： 9.
(1)证明：$\because OB \perp OC$，$\therefore \angle BOD + \angle COE = 90^{\circ}$．$\because BD \perp OA$，$\therefore \angle ODB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BOD + \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore \angle COE = \angle B$；
(2)解：$\because BD \perp OA$，$CE \perp OA$，$\therefore \angle CEO = \angle ODB = 90^{\circ}$，由题意得：$OC = OB = OA = 17cm$，由
(1)得：$\angle COE = \angle B$， 在 $\triangle COE$ 和 $\triangle OBD$ 中，
$\begin{cases} \angle CEO = \angle ODB \\ \angle COE = \angle B \\ OC = BO \end{cases}$
$\therefore \triangle COE \cong \triangle OBD (AAS)$，$\therefore OE = BD = 8cm$，$\therefore AE = OA - OE = 17 - 8 = 9cm$．

10. (10分)【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角$r$等于入射角$i$，这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点$G$处，手电筒的光从平面镜上点$B$处反射后，恰好经过木板的边缘点$F$，落在墙上的点$E$处，点$F$到地面的高度$CF=1.5 m$，点$A$、点$C$到平面镜$B$点的距离相等.图中点$A$、$B$、$C$、$D$在同一条直线上.求灯泡到地面的高度$AG$.

答案： 10.解：根据题意得：法线垂直于平面镜，且$\angle i = \angle r$，$\therefore \angle ABG = \angle FBC$， 在 $\triangle FCB$ 和 $\triangle GAB$ 中，
$\begin{cases} \angle FCB = \angle GAB \\ BC = BA \\ \angle FBC = \angle GBA \end{cases}$
$\therefore \triangle FCB \cong \triangle GAB (ASA)$，$\therefore AG = CF = 1.5m$．