《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

20. (本小题10分)如图,$AB = AC$,$\angle A = 40°$,$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$.
(1)求$\angle DBC$的度数;
(2)若$AE = 6$,$\triangle BCD$的周长为$19$,求$BC$的长.

答案： 20.解：
(1)
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C，
∵∠ABC + ∠C + ∠A = 180°，∠A = 40°，
∴∠ABC = 70°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD = BD，
∴∠ABD = ∠A = 40°，
∴∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 70° - 40° = 30°；
(2)
∵MN垂直平分AB，
∴AB = 2AE，AD = BD.
∵AE = 6，
∴AC = AB = 2AE = 12，
∵△BCD的周长=BD + CD + BC = AD + CD + BC = AC + BC = 19，
∴BC = 19 - 12 = 7.

21. (本小题11分)请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
教科书中这样写道:“我们把多项式$a^{2} + 2ab + b^{2} $及$a^{2} - 2ab + b^{2} $叫作完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方式,我们常常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:$x^{2} + 2x - 3 = (x^{2} + 2x + 1) - 4 = (x + 1)^{2} - 2^{2} = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = (x + 3)(x - 1);2x^{2} + 4x - 6 = 2(x^{2} + 2x + 1) - 8 = 2(x + 1)^{2} - 8$,则当$x = -1$时,$2x^{2} + 4x - 6$有最小值,最小值是$-8$.
任务:
(1)若多项式$x^{2} - 4x + k$是一个完全平方式,则常数$k =$4;
(2)用配方法分解因式:$x^{2} - 6x - 7$;
(3)当$x$为何值时,多项式$-2x^{2} - 4x + 3$有最大值?并求出这个最大值.

答案： 21.解：
(1)4
(2)x² - 6x - 7 = x² - 6x + 9 - 9 - 7 = (x - 3)² - 16 = (x - 3 + 4)(x - 3 - 4)=(x + 1)(x - 7)；
(3)-2x² - 4x + 3 = -2(x² + 2x + 1 - 1)+3 = -2(x + 1)² + 5.
∵-2(x + 1)²≤0，
∴当x = -1时，-2x² - 4x + 3有最大值，最大值是5.