《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

20. (9分)“六一”儿童节将至，张老板计划购买$A$型玩具和$B$型玩具进行销售，若用1 200元购买$A$型玩具的数量比用1 500元购买$B$型玩具的数量多20个，且一个$B$型玩具的进价是一个$A$型玩具进价的1.5倍.
(1)求$A$型玩具和$B$型玩具的进价分别是多少？
(2)若$A$型玩具的售价为12元/个，$B$型玩具的售价为20元/个，张老板购进$A,B$玩具共75个，要使总利润不低于300元，则$A$型玩具最多购进多少个？

答案： 20.解：
(1)设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个.由题意，得$\frac{1200}{x}-\frac{1500}{1.5x}=20$，解得x = 10，经检验，x = 10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5 = 15(元/个)，答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个.
(2)设购进A型玩具m个，则购进B型玩具(75 - m)个.根据题意，得(12 - 10)m + (20 - 15)(75 - m) ≥ 300，解得m ≤ 25，答：最多可购进A型玩具25个.

21. (10分)【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题.图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 (a - b)² = a² - 2ab + b².
【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为$a,b$的长方形拼摆成一个如图3的正方形.
(1)通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式$(a + b)^2$，$(a - b)^2$，$ab$之间的等量关系.
(2)若$a - b = 10$，$ab = -16$，求$a + b$的值.

答案： 21.解：【知识回顾】(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b²
【拓展探究】
(1)(a - b)² = (a + b)² - 4ab；
(2)由
(1)得，(a - b)² = (a + b)² - 4ab.
∵a - b = 10，ab = -16，
∴(a + b)² = 10² + 4×(-16) = 36.
∴a + b = ±6；