《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

14. 如图,在$Rt \bigtriangleup ABC$ 中$,\angle B = 9 0 ^ { \circ }$,$AC$ 的垂直平分线$DE$ 分别交$AB,AC$ 于点$D$ 和$E$,$CD$ 平分$\angle ACB$,$AD = 5$,$BD = $$\frac{5}{2}$.

答案： 14.$\frac{5}{2}$ [解析]
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD = CD = 5，
∴$\angle ACD = \angle A$.
∵CD平分$\angle ACB$，
∴$\angle ACD = \angle BCD$，
∴$\angle ACD = \angle BCD = \angle A$.
∵$\angle B = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD + \angle BCD + \angle A = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD = \angle BCD = \angle A = 30^{\circ}$，
∴$BD = \frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}$.

15. 如图,在等边$\bigtriangleup ABC$ 中,$AD$ 是$BC$ 边上的高线,且$AD = 6$,$E$ 是$AB$ 的中点,如果点$P$ 在$AD$ 上运动,那么$BP + EP$ 的最小值是6.

答案： 15.6 [解析]连接PC、CE.
∵等边$\triangle ABC$中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴PB = PC，
∴EP + PB = EP + CP≥CE，即BP + EP的最小值为CE的长.
∵等边$\triangle ABC$中，E是AB边的中点，
∴AD = CE = 6，
∴EP + BP的最小值为6.

16. ( 10 分) 计算:
(1) $| - 2 | - ( \pi - 3 ) ^ { 0 } + ( \frac { 1 } { 3 } ) ^ { - 1 } + ( - 1 )$;
(2) $( 2 a - 3 b ) ( a + 2 b )$.

答案： 16.解：
(1)原式 = 2 - 1 + 3 - 1 = 3.
(2)原式 = 2$a^{2}$+4ab - 3ab - 6$b^{2}$=2$a^{2}$+ab - 6$b^{2}$.

17. ( 9 分) 先化简$( \frac { 4 x + 5 } { x - 1 } + x + 1 ) ÷ \frac { x + 2 } { x - 1 }$,再选一个合适的数作为$x$ 值代入,求出代数式的值.

答案： 17.解：原式 = ($\frac{4x + 5}{x - 1}+\frac{x^{2}-1}{x - 1}$)÷$\frac{x + 2}{x - 1}$=$\frac{x^{2}+4x + 4}{x - 1}$·$\frac{x - 1}{x + 2}$=$\frac{(x + 2)^{2}}{x - 1}$·$\frac{x - 1}{x + 2}$=x + 2，
∵x = 1或 -2时分式无意义，
∴x不能是1或 -2，
∴当x = 3时，原式 = 3 + 2 = 5.

18. ( 9 分) 如图,$\bigtriangleup ABC$ 的三个顶点的坐标分别为$A( - 1 , 3 )$,$B( - 3 , 1 )$,$C( - 5 , 4 )$.
( 1 ) 画出$\bigtriangleup ABC$ 关于$x$ 轴对称的图形$\bigtriangleup A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$,其中点$A,B,C$ 的对称点分别为$A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 }$,直接写出点$A _ { 1 } , B _ { 1 } , C _ { 1 }$ 的坐标;
( 2 ) 在$y$ 轴上找一点$D$,使$AD + BD$ 的值最小,在图中画出点$D$( 保留必要的画图痕迹) .

答案：
18.解：
(1)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求. 点$A_{1}(-1,-3)$，$B_{1}(-3,-1)$，$C_{1}(-5,-4)$.
(2)如图，点D即为所求.