《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

23. (11分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$为直线$BC$上一动点(不与点$B,C$重合)，在$AD$的右侧作$\triangle ADE$，使得$AE = AD$，$\angle DAE = \angle BAC$，连接$CE$.
(1)当$D$在线段$BC$上时，求证：$\triangle BAD \cong \triangle CAE$.
(2)请判断点$D$在何处时，$AC \perp DE$，并说明理由.
(3)当$CE // AB$时，若$\triangle ABD$中最小角为$25°$，直接写出$\angle ADB$的度数= 25°或35°或95°.

答案：
23.
(1)证明：
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠DAB + ∠DAC = ∠DAC + ∠EAC，
∴∠DAB = ∠EAC，在△BAD和△CAE中，$\begin{cases}AB = AC\\∠DAB = ∠EAC\\AD = AE\end{cases}$，
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
(2)解：当点D在BC中点时，AC⊥DE.理由如下：由
(1)知△BAD≌△CAE，
∴BD = CE.
∵AD = AE，AC⊥DE，
∴AC垂直平分DE，
∴DC = CE，
∴BD = CD，
∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；
(3)25°或35°或95°【解析】在射线BC上C点右侧取一点F，由
(1)可知△BAD≌△CAE，
∴∠ABD = ∠ACE，当CE//AB时，则∠ABC = ∠ECF，∠BAC = ∠ACE，
∴∠ABD = ∠BAC.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°，
∴△ABC为等边三角形.①如图1，D在线段BC上时，若∠BAD = 25°，则∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠B = 180° - 25° - 60° = 95°；②如图2，点D在BC的延长线上，∠ADB = 25°；③如图3，点D在CB的延长线上，此时∠BAD = 25°，∠ADB = 60° - 25° = 35°；④如图4，∠ADB = 25°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为25°或35°或95°.