《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

22. (本小题12分)(1)观察发现
已知:在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D,A,E$三点都在直线$m$上,并且有$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = 90°$.则图中的一对全等三角形为△ABD≌△CAE,线段$DE,BD$和$CE$之间的数量关系
为DE = BD + CE.
(2)类比探究
将(1)中的条件改为:在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D,A,E$三点都在直线$m$上,并且有$\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC \neq 90°$.则(1)中线段$DE,BD,CE$之间的关系是否仍然成立?若成立,请仅就图的情形给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展应用
如图,点$A$的坐标为$(0,2)$,点$B$的坐标为$(3,0)$.在平面直角坐标系中,以点$A$为直角顶点作等腰直角三角形$ABC$,请直接写出点$C$的坐标.

答案： 22.解：
(1)△ABD≌△CAE DE = BD + CE
(2)结论依然成立，理由如下：
∵∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，∠BDA + ∠DAB + ∠DBA = 180°，∠CEA + ∠ACE + ∠CAE = 180°，∠BAC + ∠DAB + ∠CAE = 180°，
∴∠DAB = ∠ACE，∠ABD = ∠CAE，
∵AB = AC，
∴△CAE≌△ABD(AAS)，
∴BD = AE，AD = CE，
∴DE = AD + AE = CE + BD；
(3)C点坐标为(2,5)或(-2,-1).【解析】
∵点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(0,2)，
∴OB = 3，OA = 2，当点C在AB上方时，记为C₁，作C₁M⊥y轴于M点，
∵∠C₁MA = ∠AOB = 90°，则∠MAC₁ + ∠MCA₁ = 90°，
∵C₁A⊥AB，
∴∠BAC₁ = 90°，
∴∠MAC₁ + ∠OAB = 90°，
∴∠OAB = ∠MCA₁，
∵AB = AC₁，
∴△OAB≌△MC₁A，
∴AM = OB = 3，OA = MC₁ = 2，
∴OM = AM + OA = 5，
∴C₁点坐标为(2,5)；当点C在AB下方时，记为C₂，作C₂N⊥y轴于N点，同理可得△OAB≌△NC₂A，
∴OA = NC₂ = 2，AN = OB = 3，
∴ON = AN - OA = 1，
∴C₂点坐标为(-2,-1).综上所述，C点坐标为(2,5)或(-2,-1).

1. 我们通常用作差法比较代数式大小.例如:已知$M = 2x + 3$,$N = 2x + 1$,比较$M$和$N$的大小.若$M - N ＞ 0$,则$M ＞ N$;若$M - N ＜ 0$,则$M ＜ N$;若$M - N = 0$,则$M = N$.反之亦成立.本题中因为$M - N = 2x + 3 - (2x + 1) = 2 ＞ 0$,所以$M ＞ N$.
(1)如图是边长为$a$的正方形,将正方形一边不变,另一边增加$4$,得到如图所示的新长方形,此长方形的面积为$S_{1} $;将图中正方形边长增加$2$得到如图所示的新正方形,此正方形的面积为$S_{2} $.
①用含$a$的代数式分别表示$S_{1} =$a(a + 4),$S_{2} =$(a + 2)²;
②比较$S_{1} $＜$S_{2} $(填“＞”“＜”或“=”).
(2)已知两个等腰直角三角形($\triangle ACB$和$\triangle BED$)边长分别为$a$和$b(a ＜ b)$如图放置在一起,连接$AD$.如果$P$点是线段$CE$的中点,连接$AP,DP$.请比较$\triangle APD$与$\triangle ABD$的面积大小.

(3)甲、乙两工程队分别承担一条$2$千米公路的维修工作.甲队有一半时间每天维修公路$x$千米,另一半时间每天维修公路$y$千米,乙队维修前$1$千米公路时,每天维修$x$千米;维修后$1$千米公路时,每天维修$y$千米$(x \neq y)$.问甲、乙两队哪队先完成任务?

答案： 1.解：
(1)①a(a + 4) (a + 2)² ②＜
(2)
∵S△APD = S梯形ACED - S△ACP - S△DEP =$\frac{1}{2}$(a + b)(a + b)-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$(a + b)a -$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$(a + b)b =$\frac{1}{4}$(a + b)²，S△APD - S△ABD =$\frac{1}{4}$a² +$\frac{1}{2}$ab +$\frac{1}{4}$b² -$\frac{1}{2}$ab - $\frac{1}{2}$ab =$\frac{1}{4}$a² +$\frac{1}{4}$b² -$\frac{1}{2}$ab - ab =$\frac{1}{4}$(a - b)²，
∵a≠b，
∴$\frac{1}{4}$(a - b)²＞0，
∴S△APD＞S△ABD.
(3)甲队完成任务需要的时间t甲=2÷($\frac{1}{2}$x +$\frac{1}{2}$y)=$\frac{4}{x + y}$，乙队完成任务需要的时间t乙=$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$=$\frac{x + y}{xy}$，
∴t甲 - t乙=$\frac{4}{x + y}$ - $\frac{x + y}{xy}$=$\frac{4xy - (x + y)²}{xy(x + y)}$，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴(x - y)²＞0，xy(x + y)＞0，
∴-(x - y)²＜0，
∴t甲＜t乙，
∴甲队先完成任务.