《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

20. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC$和$∠ACB$的平分线$BE$,$CF$相交于点$G$.
(1) 若$∠A=40^ { \circ }$,则$∠BGC$的度数是110°$ ^ { \circ }$.
(2) 若$∠A=α$,求$∠BGC$(用含$α$的代数式表示).

答案： 20.解：
(1)$110^{\circ}$
(2)$\because \angle ABC$和$\angle ACB$的平分线$BE$，$CF$相交于点$G$，$\therefore \angle GBC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle GCB = \frac{1}{2} \angle ACB$，$\because \angle BGC = 180^{\circ} - \angle GBC - \angle GCB$，$\therefore \angle BGC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC - \frac{1}{2} \angle ACB = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$。$\because \angle A = \alpha$，$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \alpha$。$\therefore \angle BGC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \alpha$。

21. (7分)如图,某市的两条道路$BA$,$BC$经过旅游景点$A$和景点$C$.为了促进当地旅游发展,要在$S$区的一块平地上修建一个度假村,按照设计要求,使度假村到景点$A$和景点$C$的距离相等,且到两条道路$BA$和$BC$的距离也相等.
(1) 运用直尺和圆规,作出修建的度假村$M$的位置(保留作图痕迹,不写作法);
(2) 根据以上信息,在所作的图形中连接$AM$,$CM$,求证:$∠MCB+∠MAB=180^ { \circ }$.

答案：
21.解：
(1)如图，点$M$即为所求的度假村的位置。

(2)过点$M$作$BA$的垂线，交$BA$的延长线于点$P$，过点$M$作$BC$的垂线，交$BC$于点$N$，则$\angle MPA = \angle MNC = 90^{\circ}$，由作图，得$AM = MC$，$PM = MN$，$\therefore \triangle APM \cong \triangle CNM(HL)$，$\therefore \angle PAM = \angle MCN$，$\because \angle PAM + \angle BAM = 180^{\circ}$，$\therefore \angle MCB + \angle MAB = 180^{\circ}$。