《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

9. 在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形($a ＞ b$)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证等式(C)

A.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $
B.$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} $
C.$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $
D.$(a + b)(a - 2b) = a^{2} - ab - 2b^{2} $

答案： 9.C 【解析】
∵图甲中阴影部分的面积=a² - b²，图乙中阴影部分的面积=(a + b)(a - b)，而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a² - b²=(a + b)(a - b).故选C.

10. 如图,在平面直角坐标系中,以$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$x$轴于点$M$,交$y$轴于点$N$,再分别以点$M,N$为圆心,大于$\frac{1}{2} MN$的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点$P$.若点$P$的坐标为$(a,b)$,则$a$与$b$的数量关系为(A)

A.$a + b = 0$
B.$a + b ＞ 0$
C.$a - b = 0$
D.$a - b ＞ 0$

答案： 10.A 【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，点P的坐标为(a,b)，
∴点P到x轴、y轴的距离相等.
∵点P的坐标为(a,b)，
∴a + b = 0.故选A.

11. 若分式$\frac{a - 3}{2a} $的值为$0$,则$a$的值为3.

答案： 11.3 【解析】由题可知，$\begin{cases}a - 3 = 0 \\2a ≠ 0\end{cases}$，解得a = 3.

12. 如图,$AB = AC$,$BD = BC$,若$\angle A = 40°$,则$\angle ABD$的度数是30°.

答案： 12.30°

13. 一个长、宽分别为$m,n$的长方形的周长为$16$,面积为$8$,则$m^{2}n + mn^{2} $的值为64.

答案： 13.64 【解析】
∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，
∴2(m + n)=16，mn = 8，即m + n = 8，mn = 8，原式=mn(m + n)=64.

14. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABO$为等边三角形,$O$为坐标原点,点$A$关于$y$轴的对称点为$D$,连接$AD,BD,OD$,若点$B$在$x$轴的负半轴上,则$\angle BDO$的度数为30°.

答案： 14.30° 【解析】设AD交y轴于E.
∵△ABO为等边三角形，
∴∠AOB = 60°，OA = OB，
∴∠AOE = 90° - ∠AOB = 90° - 60° = 30°，
∵点A关于y轴的对称点为D，
∴∠AOE = ∠DOE = 30°，
∴∠BOD = ∠AOB + ∠AOE + ∠DOE = 120°，OA = OD，
∴OB = OD，
∴∠BDO = ∠DBO =$\frac{1}{2}$(180° - ∠BOD)=30°.

15. 如图,在等腰$Rt \triangle ABC$中,$\angle C = 90°$,$AC = 4$,$F$是$AB$边的中点,点$D,E$分别在$AC,BC$边上运动,且保持$AD = CE$.连接$DE,DF,EF$.下列结论:①$\angle CDF = \angle BEF$;②$\triangle DEF$是等腰直角三角形;③四边形$CDFE$的面积随$D,E$的运动而变化;④$\triangle DEF$面积的最小值为$2$,其中正确的是( 填序
号) ①②④.

答案： 15.①②④ 【解析】在等腰Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，连接CF，作FH⊥AC于点H，
∴BC = AC = 4，∠A = ∠B = ∠ACF = ∠BCF = 45°，
∴CF⊥AB，
∴∠A = ∠B = ∠ACF = ∠BCF = 45°，
∴CF = BF = AF =$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BFC = ∠AFC = 90°，∠DCF = ∠B，
∵AD = CE，
∴CD = AC - AD = BC - CE = BE，在△DCF和△EBF中，$\begin{cases}CD = BE\\\angle DCF = \angle B\\CF = BF\end{cases}$，
∴△DCF≌△EBF(SAS)，
∴∠CDF = ∠BEF，∠CFD = ∠BFE，DF = EF，S△DCF = S△EBF，①正确；
∵∠DFE = ∠CFD + ∠CFE = ∠BFE + ∠CFE = ∠BFC = 90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，②正确；
∵S△ABC =$\frac{1}{2}$AC·BC =$\frac{1}{2}$×4×4 = 8，
∴S△AFC = S△BFC =$\frac{1}{2}$S△ABC = 4，
∴S四边形CDFE = S△DCF + S△ECF = S△EBF + S△ECF = S△BFC = 4，
∴四边形CDFE的面积不随D，E的运动而变化，③错误；
∵CF = AF，∠AFC = 90°，FH⊥AC于点H，
∴HC = HA =$\frac{1}{2}$AC = 2，∠A = ∠FCA = 45°，
∴∠CFH = 45°，
∴CH = HF = 2，
∴$\frac{1}{2}$HF² =$\frac{1}{2}$×2² = 2，
∵DF≥HF，S△DEF =$\frac{1}{2}$DF²，
∴$\frac{1}{2}$DF²≥$\frac{1}{2}$HF²，
∴S△DEF≥2，
∴S△DEF的最小值是2，④正确.综上所述，正确的结论是①②④.

16. (本小题10分)计算:
(1)$(6ab + 5a) ÷ a$
(2)$(-x + 3y)(-x - 3y)$

答案： 16.解：
(1)原式=6b + 5.
(2)原式=(-x)² - (3y)²=x² - 9y².