《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

17. (本小题9分)以下是小明同学化简分式$(\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x + 3}) ÷ \frac{3}{3 - x} $的部分运算过程:
解:原式$= [\frac{x}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{1}{x + 3}] ÷ \frac{3}{3 - x} $······第一步
$= [\frac{x}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)}] · \frac{3 - x}{3} $······第二步
$= \frac{x - x - 3}{(x + 3)(x - 3)} · \frac{3 - x}{3} $······第三步
···
(1)上面的运算过程中第三步出现了错误;
(2)请你写出正确的解答过程.

答案： 17.解：
(1)三
(2)原式=[$\frac{x}{(x + 3)(x - 3)}$ - $\frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)}$]·$\frac{3 - x}{3}$=$\frac{x - (x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}$·$\frac{3 - x}{3}$=$\frac{3}{(x + 3)(x - 3)}$·$\frac{3 - x}{3}$=$\frac{1}{x + 3}$.

18. (本小题9分)$\triangle ABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示.$A,B,C$三点在格点上.
(1)在图中作出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1} $;
(2)写出点$C_{1} $的坐标;
(3)在$x$轴上求作一点$P$,使$PB + PC$最短.(不写作法,保留画图痕迹)

答案：
18.解：
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.
(2)由图知，点C₁(-3,2).
(3)如图所示，点P即为所求.

19. (本小题9分)列方程解应用题.
许昌与郑州两地相距约$100 km$,乘坐某高速列车从许昌到郑州比乘坐普通火车约少用$\frac{2}{3} h$,已知高速列车速度是普通火车速度的$2.5$倍,求此高速列车的速度.

答案： 19.解：设普通火车的速度为xkm/h，则高速列车的速度为2.5xkm/h.由题意，得$\frac{100}{2.5x} = \frac{100}{x} - \frac{2}{3}$，解得x = 90，经检验，x = 90是分式方程的解，且符合题意，
∴2.5x = 90×2.5 = 225.答：此高速列车的速度为225km/h.