《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

23. 【教材呈现】
如图1，$AD$平分$\angle EAC$，$AD // BC$，易证$\triangle ABC$是等腰三角形.
【变式探究】
(1)如图2，把一张长方形的纸沿对角线$AC$折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】
当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形.
【经验应用】
(2)如图3，$AD // BC$，$AD$平分$\angle EAC$，$CD$平分$\angle ACF$，试探究线段$AB$与线段$AD$的数量关系，并说明理由.
【拓展提升】
(3)如图4，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$E$为$CD$的中点，且$AE$平分$\angle BAD$，连接$BE$，则线段$AD$、$BC$和$AB$之间的数量关系为AB = AD + BC.

答案： 23.解:
(1)重合部分是一个等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是长方形，
∴DC//AB，
∴∠ACD = ∠BAC. 由折叠的性质可知，∠BAC = ∠B′AC，
∴∠ACD = ∠B′AC，
∴AE = CE，
∴△ACE是等腰三角形；
(2)AB = AD. 理由如下：
∵AD//BC，
∴∠EAD = ∠B，∠DAC = ∠ACB.
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD = ∠DAC，
∴∠B = ∠ACB，
∴AB = AC.
∵AD//BC，
∴∠D = ∠DCF.
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCA = ∠DCF，
∴∠DCA = ∠D，
∴AC = AD，
∴AB = AD；
(3)AB = AD + BC 【解析】延长AE，BC交于点F.
∵AD//BC，
∴∠D = ∠DCF，∠DAF = ∠F，
∵E为CD的中点，
∴DE = CE，在△ADE和△FCE中，$\begin{cases}∠D = ∠DCF\\∠DAF = ∠F\\DE = CE\end{cases}，$
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD = CF.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF = ∠BAF，
∴∠F = ∠BAF，
∴AB = BF.
∵BF = BC + CF，
∴AB = AD + BC.