《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

9. 如图，每个小方格的边长为1，$A,B$两点都在小方格的顶点上，点$C$也是图中小方格的顶点，并且$\triangle ABC$是等腰三角形，那么点$C$的个数为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 9.C
【解题技巧】分别以AB，BC，AC为底边进行讨论，即可求解.①当以AB为底边时，线段AB的垂直平分线与网格的交点即为C点；②当以BC，AC为底边时，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径画圆，圆与网格的交点即为C点.

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle B = 60°$，$AD \perp BC$于点$D$. $P$是$AD$上的一个动点，$PE \perp AC$于点$E$，连接$CP$. 若$AD = 6$，则$PC + PE$的最小值是(B)

A.5
B.6
C.8
D.9

答案： 10.B【解析】作BE′⊥AC于E′，交AD于P′，连接P′C，PB，
∵在△ABC中，AB = AC，∠B = 60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD⊥BC，BE′⊥AC，
∴BE′ = AD = 6，BD = CD，
∴点C关于AD的对称点为点B，
∴PC = PB，
∴PC + PE = PB + PE，
∴当P、B、E在同一直线上且BE⊥AC时，PC + PE的值最小，为BE′，
∴PC + PE的最小值是6.故选B.

11. 计算：$(\pi - 3)^0 - 2^{-2} =$ $\frac{3}{4}$.

答案： 11.$\frac{3}{4}$

12. 如图，$\triangle ABC \cong \triangle ADE$，$\angle B = 70°$，$\angle C = 30°$，$\angle DAC = 20°$，则$\angle EAC$的度数为 60°.

答案： 12.60°【解析】
∵∠B = 70°，∠C = 30°，
∴∠BAC = 180° - 70° - 30° = 80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE = ∠BAC = 80°，
∴∠EAC = ∠DAE - ∠DAC = 60°.

13. 若$x,y$满足$\begin{cases}x - 2y = -2 \\ x + 2y = 3\end{cases}$，则代数式$x^2 - 4y^2$的值为 ______ .

答案： 13.-6【解析】
∵x、y满足$\begin{cases}x - 2y = -2\\x + 2y = 3\end{cases}$，
∴x² - 4y² = (x + 2y)(x - 2y) = 3×(-2) = -6.

14. 已知关于$x$的方程$\frac{2x - m}{x - 2} = 3$的解是正数，则$m$的取值范围为 m＜6且m≠4.

答案： 14.m＜6且m≠4【解析】解关于x的方程$\frac{2x - m}{x - 2}=3$得x = -m + 6，
∵x - 2 ≠ 0，解得x ≠ 2，
∵方程的解是正数，
∴-m + 6＞0且-m + 6 ≠ 2，解这个不等式得m＜6且m≠4.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle B = 50°$，$O$是射线$CB$上的一个动点，连接$OA$，将$\triangle ACO$沿着$AO$翻折得到$\triangle ADO$，当$\triangle ADO$的三边与$\triangle ABC$的三边有一组边垂直时，则$\angle AOC =$ 45或25或70$°$.

答案：
15.45或25或70【解析】当AD⊥AC时，如图1，
∴∠CAD = 90°，由折叠性质，知∠DAO = ∠CAO = $\frac{1}{2}$∠CAD = 45°，
∵∠ACB = 90°，
∴∠AOC = ∠CAO = 45°；当AD⊥AB时，如图2，由折叠性质，知∠DAO = ∠CAO = $\frac{1}{2}$∠DAC = $\frac{1}{2}$×(90° + 40°) = 65°，
∴∠AOC = 90° - ∠CAO = 25°；当OD⊥AB时，如图3，由折叠性质，知∠DAO = ∠CAO = $\frac{1}{2}$∠BAC = 20°，
∴∠AOC = 90° - ∠CAO = 70°；OD⊥BC时与AD⊥AC时相同，综上所述，∠AOC的度数为45°或25°或70°.

16. (8分)(1)计算：$(x - 1)(x + 3) - (x + 1)^2$.
(2)因式分解：$3x^2 + 6xy + 3y^2$.

答案： 16.解：
(1)原式 = x² + 3x - x - 3 - (x² + 2x + 1) = x² + 3x - x - 3 - x² - 2x - 1 = -4；
(2)原式 = 3(x² + 2xy + y²) = 3(x + y)².