《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

19. (9 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线相交于点$O$,且$OD // AB$交$BC$于点$D$,$OE // AC$交$BC$于点$E$.$\triangle ODE$恰为等边三角形.
(1)试判定$\triangle ABC$的形状,并说明你的理由;
(2)若$\triangle ODE$的周长为6,求$BC$的长.

答案： 19.解:
(1)△ABC为等边三角形.理由如下:
∵△ODE为等边三角形，
∴∠ODE = ∠OED = 60°.
∵OD//AB,OE//AC,
∴∠ODE = ∠ABC = 60°,∠OED = ∠ACB = 60°.
∴∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 60°.
∴△ABC为等边三角形;
(2)
∵等边三角形△ODE周长为6,
∴OD = OE = DE = 2.
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO = ∠DBO.
∵OD//AB,
∴∠ABO = ∠DOB.
∴∠DOB = ∠DBO,
∴BD = OD.同理CE = OE.
∴BC = BD + DE + EC = OD + DE + OE = 6.

20. (9 分)小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其做了进一步的探究.如图1,在一个支架的横杆点$O$处用一根细绳悬挂一个小球$A$,小球$A$可以自由摆动.如图2,$OA$表示小球静止时的位置,当小明用发声物体靠近小球时,小球从$OA$摆到$OB$位置,此时过点$B$作$BD \perp OA$于点$D$,且测得$BD$的长为6 cm;当小球摆到$OC$位置时,$OB$与$OC$恰好互相垂直(图中的$A,B,O,C$在同一平面上),过点$C$作$CE \perp OA$于点$E$,测得$CE$的长为11 cm.
(1)判断$OE$与$BD$的数量关系,并说明理由;
(2)求两次摆动中,点$B$和点$C$的高度差$DE$.

答案： 20.解:
(1)OE = BD.理由如下:
∵OB⊥OC,
∴∠BOD + ∠COE = 90°,又
∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO = ∠ODB = 90°,
∴∠BOD + ∠B = 90°,
∴∠COE = ∠B,在△COE和△OBD中，$\begin{cases} \angle CEO = \angle ODB \\ \angle COE = \angle B \\ OC = OB \end{cases}$，
∴△COE≌△OBD(AAS),
∴OE = BD;
(2)由
(1)得,OE = BD = 6cm,OD = CE = 11cm,
∴DE = OD - OE = 11 - 6 = 5(cm).