《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

1.(3分)如图1，将边长为$a$的正方形纸片，剪去一个边长为$b$的小正方形纸片。再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是(B)

A.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
B.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$ab = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2]$


]

答案： 1.B

2.(3分)小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$a - b$、$5$、$x^2 - y^2$、$a + b$、$x - y$、$x + y$分别对应：强、我、祖、爱、国、有。现将$5a(x^2 - y^2) - 5b(x^2 - y^2)$因式分解，则结果呈现的密码信息可能是(B)

A.我爱祖国
B.强国有我
C.我爱国
D.我有祖国

答案： 2.B 【解析】5a(x² - y²) - 5b(x² - y²) = 5(x² - y²)(a -
b) = 5(a - b)(x + y)(x - y)，
∴呈现的密码信息包括
我、强、有、国.故选B.

3.「学习情境·阅读理解」（9分）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“$m^2 - mn + 2m - 2n$”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为$m^2 - mn + 2m - 2n = (m^2 - mn) + (2m - 2n) = m(m - n) + 2(m - n) = (m - n)(m + 2)$。“社团”将此种因式分解的方法叫作“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：$a^3 - 2a^2 + 6a - 12$；
（2）已知$m - n = 5$，$mn = 1$，求$m^2n - mn^2 - 2m + 2n$的值；
（3）$\triangle ABC$的三边$a$，$b$，$c$满足$a^2 + c^2 = 2ac - ab + bc$，判断$\triangle ABC$的形状并说明理由。
]

答案： 3.解：（1）原式 = (a³ - 2a²) + (6a - 12) = a²(a - 2) + 6(a
2) = (a - 2)(a² + 6)；
（2）原式 = (m²n - mn²) - (2m - 2n) = mn(m - n) -
2(m - n) = (m - n)(mn - 2).
∵m - n = 5，mn = 1，
∴原
式 = 5×(1 - 2) = -5；
（3）△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵a² + c² = 2ac
bc，
∴a² + c² - 2ac + ab - bc = 0，
∴(a - c)² + b(a - c)
= 0，
∴(a - c)(a + b - c) = 0.
∵a，b，c为△ABC的三
边长，
∴a + b - c ＞ 0，
∴a - c = 0，
∴a = c，
∴△ABC为等腰
三角形.