《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

17. (8分)如图,$CD$是$\triangle ABC$边$AB$上的高,$AE$平分$\angle CAB$交$CD$于点$E$,若$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle AED = 65^{\circ}$,求$\angle CAB$和$\angle ACB$的度数.

答案： 17.解:
∵CD是AB边上的高,
∴∠CDA=∠CDB=90°,
∴∠AED+∠EAD=90°;
∵∠AED=65°,
∴∠EAD=90° - 65°=25°.
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAB=2∠EAD=2×25°=50°.
∵∠CAB+∠ACB+∠B=180°,∠B = 70°,
∴∠ACB=60°.

18. (9分)先化简$(x-\frac{x^{2}}{x + 1})÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$,再从$1,-1,2$中选择合适的$x$值代入求值.

答案： 18.解:原式$=(\frac{x²+x}{x+1}-\frac{x²}{x+1})·\frac{(x+1)²}{(x+1)(x - 1)}=\frac{x}{x+1}·\frac{x+1}{x - 1}=\frac{x}{x - 1},$
∵(x+1)(x - 1)≠0,
∴x≠±1,
∴当x=2时,原式$=\frac{2}{2 - 1}=2.$

19. (9分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$AC = 3$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段$BC$的垂直平分线,交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接$CD$,求$\triangle ACD$的周长.

答案：
19.解:
(1)如图所示,DE即为所求;

(2)由条件可知CD=BD,
∵AB=5,AC=3,
∴△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=8.