《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

23. (11分)【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法,是指在长线段中截取一段等于已知线段,常用于解答线段间的数量关系,当题目中有等腰三角形、角平分线等条件,可用“截长法”构造全等三角形来进行解题.
【问题解决】
(1)如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 2\angle B = 90^{\circ}$,$AD$为$\angle BAC$的角平分线,在$AB$上截取$AE = AC$,连接$DE$.请直接写出线段$AB,AC,CD$之间的数量关系;
【拓展应用】
(2)如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 2\angle B\neq 90^{\circ}$,$AD$为$\angle BAC$的邻补角的角平分线.请判断线段$AB,AC,CD$之间的数量关系,并说明理由;
【探究延伸】
(3)如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle ACB = 2\angle B = 60^{\circ}$,$AB = 2\sqrt{3}$,$AC = 2$,$AD_{1}$为$\angle BAC$的角平分线,$AD_{2}$是$\angle BAC$的邻补角的角平分线时,请直接写出$\triangle ACD_{1}$和$\triangle ACD_{2}$的面积.

答案： 23.解:
(1)AB=AC+CD.　[解析]
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD,在△EAD和△CAD中，$\begin{cases} AE=AC \\ ∠EAD=∠CAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴△EAD≌△CAD(SAS),
∴ED=CD,∠AED=∠C=90°,
∴∠BED=90°,
∵∠ACB=2∠B=90°,
∴∠B=45°,
∴∠EDB=∠B =45°,
∴ED=EB,
∴EB=CD,
∴AB=AE+EB=AC +CD;
(2)CD=AB+AC,理由如下:在BA的延长线上取一点G,使AG=AC,连接DG,在BG的延长线上取一点M.
∵AD是∠CAG的平分线，
∴∠GAD=∠CAD,在△CAD和△GAD中，$\begin{cases} AC=AG \\ ∠CAD=∠GAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴△CAD≌△GAD(SAS),
∴CD=GD,∠ACD=∠AGD,
∴∠ACB=∠DGM,
∴∠ACB=2∠B,∠DGM=∠B+∠BDG,
∴2∠B=∠B+∠BDG,
∴∠GDB=∠B,
∴BG=DG,
∵BG=AB+AG,
∴GD=AB+AC,
∴CD=AB+AC;
(3)△$ACD_1$的面积为3−$\sqrt{3}$,△$ACD_2$的面积为3+$\sqrt{3}$.　[解析]在BA延长线上取一点M,在边$CD_2$上截取CN=AC=2,连接AN,过点A作AH⊥BC于点H,
∴∠CAN=∠ANC,
∵∠ACB=∠CAN+∠ANC=60°,
∴∠CAN=∠ANC=30°.
∵2∠B=60°,
∴∠B=30°.
∵AB=2$\sqrt{3}$,
∴AH=$\sqrt{3}$.
∵∠BAC=90°,
∴∠CAM=90°,
∵$AD_1$为∠BAC的角平分线,$AD_2$是∠CAM的角平分线，
∴∠$BAD_1$ =∠$CAD_1$=∠$MAD_2$=45°,
∴∠$NAD_2$=45°−30°=15°,
∵∠ANC=∠$NAD_2$+∠$AD_2N$=30°,
∴AN=2AH=2$\sqrt{3}$,∠$D_2$=15°=∠$D_2AN$,
∴AN=$D_2N$=2$\sqrt{3}$,
∵∠$AD_2C$=30°+45°=75°=∠$D_2AN$,
∴$D_1N$=AN=2$\sqrt{3}$,
∴$D_1C$=2$\sqrt{3}$−2,
∴△$ACD_1$的面积为$\frac{1}{2}$·AH·$CD_1$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×(2$\sqrt{3}$−2)=3−$\sqrt{3}$,△$ACD_2$的面积为$\frac{1}{2}$·$CD_2$·AH=$\frac{1}{2}$×(2+2$\sqrt{3}$)×$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$.