《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

16.(10 分)【观察猜想】(1)我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图 1，在正方形$ABCD$中，点$E,F$分别在边$BC,CD$上，连接$AE,AF,EF$，并延长$CB$到点$G$，使$BG = DF$，连接$AG$.若$\angle EAF = 45^{\circ}$，则$BE,EF,DF$之间的数量关系为EF=BE+DF；
【类比探究】(2)如图 2，当点$E$在线段$BC$的延长线上，且$\angle EAF = 45^{\circ}$时，试探究$BE,EF,DF$之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】(3)如图 3，在$Rt\triangle ABC$中，$AB = AC,D,E$在$BC$上，$\angle DAE = 45^{\circ}$，若$\triangle ABC$的面积为$12,BD· CE = 4$，请直接写出$\triangle ADE$的面积.

答案： 解：【观察猜想】
(1)EF=BE+DF
【类比探究】
(2)BE=EF+DF.理由如下：在BC上取点G,使BG=DF.连接AG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ADC=∠BAD=∠B=90°,
∴∠ADF=90°.在△ABG和△ADF中，$\begin{cases}AB=AD \\ \angle B=\angle ADF \\ BG=DF\end{cases}$,
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∵∠EAF=45°,
∴∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAG=45°.
∴∠GAE=∠BAD-(∠EAD+∠BAG)=90°-45°=45°.
∴∠GAE=∠EAF.在△AEG和△AEF中，$\begin{cases}AE=AE \\ \angle GAE=\angle FAE \\ AG=AF\end{cases}$,
∴△AEG≌△AEF(SAS).
∴GE=EF.
∴BE=BG+GE=DF+EF.
【拓展应用】
(3)△ADE的面积为5.【解析】在点A的右侧作FA⊥AD,且使AF=AD,连接EF,FC.则∠DAF=∠BAC=90°.
∴∠B+∠ACB=90°,∠BAD=∠CAF.在△ABD和△ACF中，$\begin{cases}AB=AC \\ \angle BAD=\angle CAF \\ AD=AF\end{cases}$,
∴△ABD≌△ACF(SAS).
∴∠B=∠ACF,BD=CF,S_{△ABD}=S_{△ACF}.
∴∠ECF=∠ACF+∠ACB=∠B+∠ACB=90°,S_{四边形ADCF}=S_{△ACD}+S_{△ACF}=S_{△ACD}+S_{△ABD}=S_{△ABC}=12.
∵∠DAE=45°,
∴∠EAF=45°.在△ADE和△AFE中，$\begin{cases}AD=AF \\ \angle DAE=\angle FAE \\ AE=AE\end{cases}$,
∴△ADE≌△AFE(SAS).
∴DE=EF,S_{△ADE}=S_{△AFE}.
∵BD·CE=4,
∴CF·CE=4.
∵∠ECF=90°,
∴S_{△CEF}=$\frac{1}{2}$CF·CE=2.
∴S_{四边形ADEF}=S_{四边形ADCF}-S_{△CEF}=12-2=10.
∵S_{△ADE}=S_{△AFE},
∴S_{△ADE}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ADEF}=$\frac{1}{2}$×10=5.

17.(10 分)【课本再现】
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【定理探索】
书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明.

【定理应用】
(1)如图 1，在$\triangle ABC$中，$AB = AC,\angle B = 30^{\circ},AD\perp AB$交$BC$于点$D,AD = 4$，则$BC$的长为(C)
A.$8$
B.$4$
C.$12$
D.$6$
(2)如图 2，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ},\angle A = 30^{\circ},BC = 8\ {cm}$.点$D$是斜边$AB$上一点，把$\triangle ACD$沿$CD$折叠，得到$\triangle CDE$.
①若$\angle BDE = 40^{\circ}$，则$\angle ACD =$40$\degree$；
②当折痕$CD\perp AB$时，求点$D$的位置(即求$AD$的长).

答案： 解：【定理探索】已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,
求证：BC=$\frac{1}{2}$AB.
证明：延长BC到D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=90°,
∴AC是BD的垂直平分线,
∴AB=AD,△ABD是等腰三角形.在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AB=BD,
∴AB=BC+CD=2BC.（答案不唯一）
【定理应用】
(1)C【解析】
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°.
∵AB⊥AD,
∴BD=2AD=8,∠B+∠ADB=90°,
∴∠ADB=60°.
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAC=∠C,
∴DC=AD=4,
∴BC=BD+DC=8+4=12.
(2)①40
②由题意知AB=2BC=16cm,∠B=90°-∠A=60°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∴∠BCD=90°-∠B=30°,
∴BD=$\frac{BC}{2}$=4cm,
∴AD=AB-BD=12cm.