《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

4.(8 分)解方程：
(1)$\frac{2x}{3x - 3}=\frac{x}{x - 1}-1$.
(2)$\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{x^{2}-1}=1$.

答案： 解：
(1)方程两边乘3(x-1),得2x=3,解得:x=$\frac{3}{2}$,
检验：当x=$\frac{3}{2}$时，3(x-1)≠0，
∴x=$\frac{3}{2}$是分式方程的解.
(2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)²-4=x²-1,解得x=1.检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0,所以原分式方程无解.

5.(8 分)先化简，再求值：$1-\frac{x - y}{3x + y}÷\frac{x^{2}-y^{2}}{9x^{2}+6xy + y^{2}}$，其中$x = - 2,y = 1$.

答案： 解：原式=1-$\frac{x-y}{3x+y}$·$\frac{(3x+y)^2}{(x+y)(x-y)}$=1-$\frac{3x+y}{x+y}$=$\frac{x+y-3x-y}{x+y}$=-$\frac{2x}{x+y}$，当x=-2,y=1时，原式=$\frac{2×(-2)}{-2+1}$=-4.

6.(8 分)我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子$M,N$的大小，只要求出$M - N$的值即可.若$M - N＞0$，则$M＞N$；若$M - N = 0$，则$M = N$；若$M - N＜0$，则$M＜N$.
(1)若$n＞0$,试判断：$\frac{n + 1}{n}$与$\frac{n + 2}{n + 1}$；(填“＞”“=”或“＜”)
(2)已知$A=\frac{m^{2}+6m + 9}{m^{2}-9},B=\frac{2m + 1}{2m + 6}$，当$m＞ - 3$时，比较$\frac{1}{A}$与$B$的大小，并说明理由.

答案： 解：
(1)＞
(2)$\frac{1}{A}$＜B,理由如下:$\frac{1}{A}$-B=$\frac{(m+3)(m-3)}{(m+3)^2}$-$\frac{2m+1}{2(m+3)}$=$\frac{-7}{2(m+3)}$
∵m＞-3,
∴m+3＞0,
∴$\frac{-7}{2(m+3)}$＜0,
∴$\frac{1}{A}$＜B.