《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

24. （12分）如图，已知直线$ PA $交$ \odot O $于$ A $，$ B $两点，$ AE $是$ \odot O $的直径，点$ C $为$ \odot O $上的一点，且$ AC $平分$ \angle PAE $，过点$ C $作$ CD \perp PA $，垂足为$ D $。
（1）求证：$ CD $为$ \odot O $的切线；
（2）若$ DC + DA = 6 $，$ \odot O $的直径为10，求$ AB $的长度。

答案： 1. （1）证明：
连接$OC$。
因为$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
又因为$AC$平分$\angle PAE$，所以$\angle OAC=\angle CAD$。
则$\angle OCA=\angle CAD$，所以$OC// PA$。
因为$CD\perp PA$，所以$CD\perp OC$。
又因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$CD$为$\odot O$的切线。
2. （2）解：
过$O$作$OF\perp AB$于$F$，则四边形$OCDF$是矩形。
所以$OC = FD$，$OF = CD$。
设$DA = x$，因为$DC + DA = 6$，所以$CD = 6 - x$，$OC = FD=\frac{10}{2}=5$。
则$AF = 5 - x$。
在$Rt\triangle AOF$中，$OA = 5$，$OF = 6 - x$，根据勾股定理$OA^{2}=OF^{2}+AF^{2}$，即$5^{2}=(6 - x)^{2}+(5 - x)^{2}$。
展开得$25 = 36-12x+x^{2}+25 - 10x+x^{2}$。
整理得$2x^{2}-22x + 36 = 0$，即$x^{2}-11x + 18 = 0$。
分解因式得$(x - 2)(x - 9)=0$，解得$x = 2$或$x = 9$（当$x = 9$时，$CD=6 - 9=-3$，不合题意，舍去）。
所以$DA = 2$，$AF = 5 - 2 = 3$。
因为$OF\perp AB$，根据垂径定理$AB = 2AF$，所以$AB = 6$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$AB$的长度为$6$。