《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

20. (10分)如图,在平面直角坐标系中,$Rt\triangle OAB$的直角边$OA$在$x$轴的正半轴上,点$B$在第一象限,将$\triangle OAB$绕点$O$按逆时针方向旋转至$\triangle OA'B'$,使点$B$的对应点$B'$落在$y$轴的正半轴上.已知$OB = 2$,$\angle BOA = 30^{\circ}$.
(1) 求点$B$和点$A'$的坐标;
(2) 求经过点$B$和点$B'$的直线所对应的一次函数解析式,并判断点$A'$是否在直线$BB'$上.

20.(1)B($\sqrt{3}$,1)，$A'(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}).$
(2)一次函数解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2，$点A'在直线BB'上.

答案： $20.(1)B(\sqrt{3},1)，$$A'(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}).$
(2)一次函数解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2，$点A'在直线BB'上.

21. (12分)如图(1),一个等腰直角三角尺$GEF$的两条直角边与正方形$ABCD$的两条边分别重合在一起. 现正方形$ABCD$保持不动,将三角尺$GEF$绕斜边$EF$的中点$O$(点$O$也是$BD$的中点)按顺时针方向旋转.
(1) 如图(2),当$EF$与$AB$相交于点$M$,$GF$与$BD$相交于点$N$时,通过观察或测量$BM$,$FN$的长度,猜想$BM$,$FN$满足的数量关系,并证明你的猜想.
(2) 若三角尺$GEF$旋转到如图(3)所示的位置时,线段$FE$的延长线与$AB$的延长线相交于点$M$,线段$BD$的延长线与$GF$的延长线相交于点$N$. 此时(1)中的猜想还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

21.
(1)BM=FN.
证明：
∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，点O是EF(BD)的中点，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF.又
∵∠BOM=∠FON，
∴△OBM≌△OFN(ASA)，
∴BM=FN.
(2)BM=FN仍然成立.
证明：
∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，点O是EF(BD)的中点，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°.又
∵∠MOB=∠NOF，
∴△OBM≌△OFN(ASA)，
∴BM=FN.

答案： 21.
(1)BM=FN.
证明：
∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，点O是EF(BD)的中点，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF.又
∵∠BOM=∠FON，
∴△OBM≌△OFN(ASA)，
∴BM=FN.
(2)BM=FN仍然成立.
证明：
∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，点O是EF(BD)的中点，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°.又
∵∠MOB=∠NOF，
∴△OBM≌△OFN(ASA)，
∴BM=FN.