《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

16. 小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 $ ABCD $ 沿过点 $ B $ 的直线折叠，使点 $ A $ 落在 $ BC $ 上的点 $ E $ 处，还原后，再沿过点 $ E $ 的直线折叠，使点 $ A $ 落在 $ BC $ 上的点 $ F $ 处，这样就可以求出 $ 67.5^{\circ} $ 角的正切值是$\sqrt{2}+1$.

答案： 16.$\sqrt{2}+1$

17. (8分)某超市为方便顾客购物，准备在一至二楼之间改装电梯(如图). 楼顶与地面平行. 要使身高 2 m 以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在 $ B $ 处不碰到头部. 请你帮该超市设计，电梯与一楼地面的夹角 $ \alpha $ 最小为多少度？

答案： 17.α最小为30°.

18. (8分)如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，点 $ D $ 在 $ BC $ 边上，且 $ \triangle ABD $ 是等边三角形. 若 $ AB = 2 $，求 $ \triangle ABC $ 的周长.（结果保留根号）

答案： 18.解：
∵△ABD是等边三角形，
∴∠B = 60°.
∵∠BAC = 90°，
∴∠C = 30°.
∵sinC = $\frac{AB}{BC}$，
∴BC = $\frac{AB}{sinC}$ = 4.
∵cosC = $\frac{AC}{BC}$，
∴AC = BC·cosC = 2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长是6 + 2$\sqrt{3}$.

19. (8分)如图，矩形 $ ABCD $ 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度 $ EF $.（结果精确到 $ 0.1 m $. 参考数据：$ \sin 40^{\circ} \approx 0.64 $，$ \cos 40^{\circ} \approx 0.77 $，$ \tan 40^{\circ} \approx 0.84 $）

答案： 19.解：在Rt△CDF中，CD = 5.4，∠DCF = 40°，
∴DF = CD·sin40°≈5.4×0.64 = 3.456 (m).
在Rt△ADE中，AD = 2.2，∠ADE = ∠DCF = 40°，
∴DE = AD·cos40°≈2.2×0.77 = 1.694(m)，
∴EF = DF + DE = 5.15≈5.2(m).
答：车位所占街道的宽度EF约为5.2m.