《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

20. (10分)工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图a所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为$90^{\circ}$，尺寸如图所示. 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图b所示的$A$，$B$，$E$三个接触点，该球的大小就符合要求. 图b是过球心$O$及$A$，$B$，$E$三个接触点的截面示意图. 已知$\odot O$的直径就是铁球的直径，$AB$是$\odot O$的弦，$CD$切$\odot O$于点$E$，$AC \perp CD$，$BD \perp CD$. 请结合图a中的数据，计算这种铁球的直径.

答案： 20.解：连接OA,OE,设OE与AB交于点P.
∵AC=BD,AC⊥CD,BD⊥CD,
∴四边形ABDC是矩形.
∵CD与⊙O切于点E,OE为⊙O的半径,
∴OE⊥CD,
即OE⊥AB,
∴PA=PB,
∴PE=AC.
∵AB=CD=16 cm,
∴PA=8 cm.又
∵AC=BD=PE=4 cm,
则在Rt△OAP中,由勾股定理,得$OA^{2}=PA^{2}+OP^{2},$解得OA=10 cm,
∴这种铁球的直径为20 cm.

21. (12分)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$BD$是$\odot O$的弦，延长$BD$到点$C$，使$DC = BD$，连接$AC$，过点$D$作$DE \perp AC$，垂足为$E$.
（1）求证：$AB = AC$；
（2）求证：$DE$是$\odot O$的切线；
（3）若$\odot O$的半径为5，$\angle BAC = 60^{\circ}$，求$DE$的长.

答案： 21.
(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又
∵BD=CD,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC.
(2)证明：连接OD.
∵点O,D分别是AB,BC的中点,
∴OD//AC.
又
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE.又
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(3)解：由AB=AC,∠BAC=60°,知△ABC是等边三角形.
∵⊙O的半径为5,
∴AB=BC=10,CD=5.
又
∵∠C=60°,
∴∠CDE=30°,
∴$CE=\frac{5}{2},$
∴$DE=\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.$