《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

19. (9分)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ AB = 12mm $，$ BC = 24mm $，动点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向 $ B $ 以 $ 2mm/s $ 的速度移动（不与点 $ B $ 重合），动点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向 $ C $ 以 $ 4mm/s $ 的速度移动（不与点 $ C $ 重合）。如果 $ P $，$ Q $ 分别从 $ A $，$ B $ 同时出发，求经过多少秒，四边形 $ APQC $ 的面积最小。

经过3秒，四边形APQC的面积最小。

答案： 19.经过3秒,四边形APQC的面积最小.

20. (10分)有一座抛物线形拱桥，其水面宽 $ AB $ 为 18 米，拱顶 $ O $ 离水面 $ AB $ 的距离 $ OM $ 为 8 米，货船在水面上的部分的横断面是矩形 $ CDEF $，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 如果限定矩形的长 $ CD $ 为 9 米，那么矩形的高 $ DE $ 不能超过多少米，才能使船通过拱桥？

(1)$y=- \frac {8}{81}x^{2}(-9\leq x\leq9)$；(2)6米。

答案： $20.(1)y=- \frac {8}{81}x^{2}(-9\leq x\leq9). (2)6$米.

21. (10分)某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元）。设每件商品的售价上涨 $ x $ 元（$ x $ 为整数），每个月的销售利润为 $ y $ 元。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式并直接写出自变量 $ x $ 的取值范围。
(2) 每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少？
(1)$y=-10x^{2}+100x+2 000(0＜x\leq12$且x为整数).
(2)当x=5时$,y_{max}=2 250,$
即售价定为65元时,每个月获得的利润最大,最大月利润是2 250元.

答案： $21.(1)y=-10x^{2}+100x+2 000(0＜x\leq12$且x为整数).
(2)当x=5时$,y_{max}=2 250,$
即售价定为65元时,每个月获得的利润最大,最大月利润是2 250元.