《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

21. (8分)如图，将一个钝角三角形$ABC$（其中$\angle ABC = 120^{\circ}$）绕点$B$顺时针旋转得$\triangle A_{1}BC_{1}$，使得点$C$落在$AB$的延长线上的点$C_{1}$处，连接$AA_{1}$。
(1) 写出旋转角的度数；
(2) 求证：$\angle A_{1}AC = \angle C_{1}$。

答案： 1. 求旋转角的度数：
因为$\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle CBC_{1}=180^{\circ}-\angle ABC = 60^{\circ}$。
由旋转的性质可知，旋转角为$\angle CBC_{1}$，所以旋转角的度数是$60^{\circ}$。
2. 证明$\angle A_{1}AC=\angle C_{1}$：
解（证明）：
由旋转的性质可知$\triangle ABC\cong\triangle A_{1}BC_{1}$，所以$AB = A_{1}B$，$\angle C=\angle C_{1}$。
因为旋转角$\angle ABA_{1}=\angle CBC_{1}=60^{\circ}$，且$AB = A_{1}B$，所以$\triangle ABA_{1}$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，$\angle BAA_{1}=60^{\circ}$。
又因为$\angle CBC_{1}=60^{\circ}$，所以$\angle BAA_{1}=\angle CBC_{1}$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$AA_{1}// BC$。
再根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle A_{1}AC=\angle C$。
又因为$\angle C=\angle C_{1}$，所以$\angle A_{1}AC=\angle C_{1}$。
综上，（1）旋转角的度数是$60^{\circ}$；（2）证明过程如上述。