《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

20. (8分)在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1，2，3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标.
(1) 写出点M坐标的所有可能的结果；
(2) 求点M在直线$y = x$上的概率；
(3) 求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.

答案： 20.（1）点M坐标的所有可能的结果有9个：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),
(3,2),(3,3).
（2）P(点M在直线y=x上)=P(点M的横、纵坐标相等$)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$
（3）P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数$)=\frac{5}{9}.$

21. (8分)某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容.规定：每名考生先在三道笔试题(题签分别用代码$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$表示)中抽取一个，再在三道上机题(题签分别用代码$J_{1}$，$J_{2}$，$J_{3}$表示)中抽取一个进行考试. 小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签.
(1) 用画树状图或列表法表示出所有可能的结果；
(2) 求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标(例如“$B_{1}$”的下标为“1”)均为奇数的概率.

答案： （1）列表如下：
| 笔试题 | 上机题 | 结果 |
| ---- | ---- | ---- |
| $B_1$ | $J_1$ | $(B_1,J_1)$ |
| $B_1$ | $J_2$ | $(B_1,J_2)$ |
| $B_1$ | $J_3$ | $(B_1,J_3)$ |
| $B_2$ | $J_1$ | $(B_2,J_1)$ |
| $B_2$ | $J_2$ | $(B_2,J_2)$ |
| $B_2$ | $J_3$ | $(B_2,J_3)$ |
| $B_3$ | $J_1$ | $(B_3,J_1)$ |
| $B_3$ | $J_2$ | $(B_3,J_2)$ |
| $B_3$ | $J_3$ | $(B_3,J_3)$ |
共有9种等可能的结果。
（2）下标均为奇数的结果有$(B_1,J_1)$，$(B_1,J_3)$，$(B_3,J_1)$，$(B_3,J_3)$，共4种。
所以概率为$\frac{4}{9}$。

22. (10分)某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10 000张奖券的抽奖结果如下表：

(1) 求“紫气东来”奖券出现的频率.
(2) 请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？请说明理由.

答案： $22.（1）\frac{500}{10 000}=\frac{1}{20}（$或5%）. （2）平均每张奖券获得的购物券金额为$100×\frac{500}{10 000}+50×\frac{1 000}{10 000}+20×\frac{2 000}{10 000}+0×\frac{6 500}{10 000}=14($元).
∵14＞10,
∴选择抽奖更合算.