《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

15. 如图，直线$AB$，$BC$，$CD$分别与$\odot O$相切于点$E$，$F$，$G$，且$AB // CD$. 若$OB = 6$ cm，$OC = 8$ cm，则$\odot O$的半径是4.8 cm，$BE + CG =$10 cm.

答案： 15.4.8 cm 10 cm

16. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 1$，以$A$为圆心，$AB$为半径画弧交$CD$于点$E$，交$AD$的延长线于点$F$，则图中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： $16.\frac{2}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$

17. (8分)如图，已知$AB$是$\odot O$的直径，$AC$是弦，$CD$切$\odot O$于点$C$，交$AB$的延长线于点$D$，$\angle ACD = 120^{\circ}$，$BD = 10$.
（1）求证：$AC = CD$；
（2）求$\odot O$的半径.

答案： 1. （1）证明：
连接$OC$。
因为$CD$切$\odot O$于点$C$，所以$OC\perp CD$，即$\angle OCD = 90^{\circ}$。
已知$\angle ACD = 120^{\circ}$，则$\angle ACO=\angle ACD-\angle OCD = 120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$OA = OC$（同圆半径相等），所以$\angle A=\angle ACO = 30^{\circ}$。
在$\triangle ACD$中，$\angle D = 180^{\circ}-\angle ACD-\angle A=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
所以$\angle A=\angle D$，根据等角对等边，可得$AC = CD$。
2. （2）解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC = r$，$OD=r + 10$。
在$Rt\triangle OCD$中，$\angle D = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}OD$。
即$r=\frac{1}{2}(r + 10)$。
去括号得：$r=\frac{1}{2}r+5$。
移项得：$r-\frac{1}{2}r = 5$。
合并同类项得：$\frac{1}{2}r = 5$。
解得$r = 10$。
综上，（1）得证$AC = CD$；（2）$\odot O$的半径为$10$。

18. (8分)如图，已知一底面半径为$r$，母线长为$3r$的圆锥，在底面圆周上有一蚂蚁位于$A$点，它从$A$点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径的长.

答案： 18.蚂蚁运动的最短路径的长为$3\sqrt{3}r.$

19. (8分)如图，已知点$A$，$B$，$C$，$D$均在已知圆上，$AD // BC$，$BD$平分$\angle ABC$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，四边形$ABCD$的周长为15.
（1）求圆的半径长度；
（2）求阴影部分的面积.

答案： 19.解：
(1)
∵AD//BC,∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°.
又
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC},∠BCD=60°,$
∴AB=AD=DC,∠BDC=90°.
又
∵在Rt△BDC中,BC是圆的直径,BC=2DC,
∴$BC+\frac{3}{2}BC=15,$
∴BC=6,
∴此圆的半径长度为3.
(2)设BC的中点为O,由
(1)可知O即为圆心,连接OA,OD,过O作OE⊥AD于点E.
在Rt△AOE中,∠AOE=30°,
∴$AE=\frac{3}{2},OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2},$
$S△AOD=\frac{1}{2} × 3 × \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4},$
∴S阴影=S扇形$AOD-S△AOD=\frac{60 × \pi × 3^{2}}{360}-\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{3\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{6\pi - 9\sqrt{3}}{4}.$