《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

24. （12分）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下$O$点打出一球向球洞$A$点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米.已知山坡$OA$与水平方向$OC$的夹角为$30^{\circ}$，$O$，$A$两点相距$8\sqrt{3}$米.
（1）求出点$A$的坐标及直线$OA$的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从$O$点直接打入球洞$A$点.

答案： 24.解:
(1)在Rt△AOC中，
∵∠AOC = 30°,OA = 8$\sqrt{3}$，
∴AC = $\frac{1}{2}$OA = 4$\sqrt{3}$,OC = $\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$ = 12.
∴点A的坐标为(12,4$\sqrt{3}$).
　　设直线OA的解析式为y = kx，把点A(12,4$\sqrt{3}$)的坐标代入，得4$\sqrt{3}$ = 12k，
∴k = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OA的解析式为y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x.
(2)
∵顶点B的坐标是(9,12)，点O的坐标是(0,0)，
∴设抛物线的解析式为y = a(x - 9)^{2} + 12.
　　把点O的坐标代入，得0 = a(0 - 9)^{2} + 12，解得a = -$\frac{4}{27}$，
∴抛物线的解析式为y = -$\frac{4}{27}$(x - 9)^{2} + 12，即y = -$\frac{4}{27}$x^{2} + $\frac{8}{3}$x.
(3)把x = 12代入抛物线的解析式，得y = $\frac{32}{3}$≠4$\sqrt{3}$，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.