《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

20. (10分)如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，在 $ A $ 处测得灯塔 $ P $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上，继续航行 30 分钟后到达 $ B $ 处，此时测得灯塔 $ P $ 在北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向上.
(1) 求 $ \angle APB $ 的度数；
(2) 已知在灯塔 $ P $ 的周围 25 海里内有暗礁，问：海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.414 $，$ \sqrt{3} \approx 1.732 $）

答案：
20.解：
(1)由题意，得∠PAB = 90° - 60° = 30°，∠ABP = 90° + 45° = 135°，
∴∠APB = 180° - ∠PAB - ∠ABP = 180° - 30° - 135° = 15°.
(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，

则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH = PH.
设BH = PH = x海里，由题意得AB = 40×$\frac{30}{60}$ = 20(海里).
在Rt△APH中，tan∠PAB = tan30° = $\frac{PH}{AH}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{x}{20 + x}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得x = 10$\sqrt{3}$ + 10≈27.32.
∵27.32＞25，
∴海监船继续向正东方向航行安全.

21. (12分)图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图. 量得托板长 $ AB = 120 mm $，支撑板长 $ CD = 80 mm $，底座长 $ DE = 90 mm $. 托板 $ AB $ 固定在支撑板顶端点 $ C $ 处，且 $ CB = 40 mm $，托板 $ AB $ 可绕点 $ C $ 转动，支撑板 $ CD $ 可绕点 $ D $ 转动.
(1) 若 $ \angle DCB = 80^{\circ} $，$ \angle CDE = 60^{\circ} $，求点 $ A $ 到直线 $ DE $ 的距离；
(2) 为了观看舒适，在(1)的情况下，把 $ AB $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ 10^{\circ} $ 后，再将 $ CD $ 绕点 $ D $ 顺时针旋转，使点 $ B $ 落在直线 $ DE $ 上即可，求 $ CD $ 旋转的角度.（保留小数点最后一位）
（参考数据：$ \sin 40^{\circ} \approx 0.643 $，$ \cos 40^{\circ} \approx 0.766 $，$ \tan 40^{\circ} \approx 0.839 $，$ \sin 26.6^{\circ} \approx 0.448 $，$ \cos 26.6^{\circ} \approx 0.894 $，$ \tan 26.6^{\circ} \approx 0.50 $，$ \sqrt{3} \approx 1.732 $）

答案：
21.解：
(1)如图1，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N.

由题意可知，AC = 80mm，
∵CD = 80mm，∠CDE = 60°，
∴在Rt△CDN中，CN = CD·sin∠CDN = 80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 40$\sqrt{3}$(mm)，
∠DCN = 90° - 60° = 30°.
又
∵∠DCB = 80°，
∴∠BCN = 80° - 30° = 50°.
∵AM⊥ME，CN⊥DE，
∴AM//CN，
∴∠A = ∠BCN = 50°，
∴∠ACF = 90° - 50° = 40°.
在Rt△AFC中，AF = AC·sin40°≈80×0.643 = 51.44(mm)，
又易知FM = CN = 40$\sqrt{3}$mm，
∴AM = AF + FM = 51.44 + 40$\sqrt{3}$≈120.7(mm).
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm.
(2)旋转后支架的状态如图2所示，根据题意可知∠DCB = 80° + 10° = 90°.

在Rt△BCD中，CD = 80mm，BC = 40mm，
∴tanD = $\frac{BC}{CD}$ = $\frac{40}{80}$ = 0.50，
∴∠D≈26.6°，
∴CD旋转的角度约为60° - 26.6° = 33.4°.
答：CD旋转的角度约为33.4°.