《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

24. (12分)
【实践操作】
第一步:如图(1),将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点$A^{\prime}$处,得到折痕DE,然后把纸片展平.
第二步:如图(2),将图(1)中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在AD上的点$C^{\prime}$处,点B落在点$B^{\prime}$处,得到折痕EF,$B^{\prime} C^{\prime}$交AB于点M,$C^{\prime} F$交DE于点N,再把纸片展平.
【问题解决】
(1) 如图(1),四边形$AEA^{\prime} D$的形状是______.
(2) 如图(2),线段$MC^{\prime}$与ME是否相等? 若相等,请给出证明;若不等,请说明理由.
(3) 如图(2),若$AC^{\prime}=2 \mathrm{~cm}, DC^{\prime}=4 \mathrm{~cm}$,求$D N: E N$的值.

答案：
24.
(1)正方形
(2)解：$MC'=ME$.
证明：如图，连接$EC'$.由
(1)知，$AD = AE$.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC，$\angle EAC'=\angle B = 90^{\circ}$.
由折叠知，$B'C'=BC$，$\angle B'=\angle B$，
∴AE = B'C'，$\angle EAC'=\angle B'=90^{\circ}$.
又$EC'=C'E$，
∴$Rt\triangle EC'A\cong Rt\triangle C'EB'$.
∴$\angle C'EA=\angle EC'B'$.$\therefore MC'=ME$.

(3)
∵$Rt\triangle EC'A\cong Rt\triangle C'EB'$，
∴$AC'=B'E$.
由折叠知，$B'E = BE$，
∴$AC'=BE$.
∵$AC'=2cm$，$DC'=4cm$，
∴$AB = CD = 2 + 4 + 2 = 8cm$.
设$DF = xcm$，则$FC'=FC=(8 - x)cm$.
在$Rt\triangle DC'F$中，由勾股定理得，$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，解得$x = 3$，即$DF = 3cm$.
如图，延长BA，$FC'$交于点G，则$\angle AC'G=\angle DC'F$.
∴$\tan\angle AC'G=\tan\angle DC'F=\frac{AG}{AC'}=\frac{DF}{DC'}=\frac{3}{4}$.
∴$AG=\frac{3}{2}cm$.$\therefore EG=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}cm$.
∵$DF// EG$，
∴$\triangle DNF\sim\triangle ENG$.
∴$DN:EN = DF:EG = 3:\frac{15}{2}=\frac{2}{5}$.