《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

25. (12分)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分$ACB$和矩形的三边$AE$，$ED$，$DB$组成，已知河底$ED$是水平的，$ED = 16$米，$AE = 8$米，抛物线的顶点$C$到$ED$的距离是11米，以$ED$所在的直线为$x$轴、抛物线的对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底$ED$的距离$h$（单位：米）随时间$t$（单位：时）的变化满足函数关系式$h = -\frac{1}{128}(t - 19)^{2}+8(0\leq t\leq40)$，且当水面到顶点$C$的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

答案： 25.解：$(1)\because$点C到ED的距离是11米$,\therefore OC = 11$米.
设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+11(a\neq0).$由题意，得B(8,8),
$\therefore64a + 11 = 8,$解得$a=-\frac{3}{64},$
$\therefore y=-\frac{3}{64}x^{2}+11.$
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6米.
$\therefore6=-\frac{1}{128}(t - 19)^{2}+8,$解得$t_{1}=35,t_{2}=3,$
$\therefore35 - 3 = 32($时).
答：在这一时段内，需32小时禁止船只通行.