《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

20. (10分)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数.
(1) 请画出树状图并写出所有可能得到的三位数.
(2) 甲、乙两人玩一个游戏,游戏规则:若组成的三位数是“伞数”,则甲胜;否则乙胜.你认为这个游戏公平吗? 试说明理由.

答案： 20.
(1)画树状图得到的三位数有24个,分别为123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.
(2)这个游戏不公平.因为组成的三位数中是“伞数”的有:132,142,143,231,241,243,341,342,共有8个,甲胜的概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3},$而乙胜的概率为$\frac{16}{24}=\frac{2}{3},$所以这个游戏不公平.

21. (12分)如图,有四张反面完全相同的纸牌$A,B,C,D$,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀,正面朝下随机放在桌面上.
(1) 从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是$\frac{3}{4}$.
(2) 小明和小亮约定做一个游戏,其规则为先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张.若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗? 请用列表法(或画树状图)说明理由(纸牌用$A,B,C,D$表示).若不公平,请你帮忙修改一下游戏规则,使游戏公平.

答案： 1. （1）
首先明确中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
圆$A$绕圆心旋转$180^{\circ}$后与自身重合，矩形$C$绕对角线交点旋转$180^{\circ}$后与自身重合，平行四边形$D$绕对角线交点旋转$180^{\circ}$后与自身重合，正五边形$B$不是中心对称图形。
中心对称图形有$A$、$C$、$D$共$3$个，总共有$4$张牌。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n = 4$是所有可能的结果数，$m = 3$是中心对称图形的个数），所以摸出的牌面图形是中心对称图形的概率$P=\frac{3}{4}$。
2. （2）
解：
先明确既是轴对称图形又是中心对称图形的是$A$（圆）和$C$（矩形）。
画树状图：
小明摸牌有$4$种可能，小亮摸牌在小明摸牌后有$3$种可能，总共$n = 4×3=12$种等可能的结果。
树状图如下：
第一层：小明摸牌，有$A$、$B$、$C$、$D$四种情况。
若小明摸$A$，第二层小亮摸牌有$B$、$C$、$D$；若小明摸$B$，第二层小亮摸牌有$A$、$C$、$D$；若小明摸$C$，第二层小亮摸牌有$A$、$B$、$D$；若小明摸$D$，第二层小亮摸牌有$A$、$B$、$C$。
其中两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形（即$(A,C)$和$(C,A)$）的情况有$m = 2$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，小亮获胜的概率$P_{小亮}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，小明获胜的概率$P_{小明}=1 - \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
因为$\frac{1}{6}\neq\frac{5}{6}$，所以游戏不公平。
修改规则：
规则一：若摸出的两张牌面图形是中心对称图形（$A$、$C$、$D$），则小亮获胜，否则小明获胜。
此时，计算概率：
从$4$张牌中摸$2$张的总情况数$n = 4×3 = 12$种。
摸出的两张牌面图形是中心对称图形的情况：$(A,C)$、$(A,D)$、$(C,A)$、$(C,D)$、$(D,A)$、$(D,C)$共$6$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，小亮获胜概率$P_{小亮}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，小明获胜概率$P_{小明}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
规则二：若摸出的两张牌面图形是轴对称图形（$A$、$B$、$C$），则小亮获胜，否则小明获胜（计算过程类似）。
综上，（1）$\frac{3}{4}$；（2）游戏不公平，可修改规则为若摸出的两张牌面图形是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜（答案不唯一）。