《2025年单元质量达标九年级数学全一册人教版》

23. (12分)如图,某养鸡户利用25m长的篱笆围建一个矩形鸡棚$ABCD$,鸡棚的一边靠墙(墙长16m),在与墙平行的一边开一个1m宽的门.
(1) 若鸡棚的面积是$60m^{2}$,求鸡棚的长和宽;
(2) 鸡棚的面积能否达到$90m^{2}$?请说明理由.

答案： 1. （1）设鸡棚垂直于墙的一边长为$x m$，则平行于墙的一边长为$(25 + 1-2x)m=(26 - 2x)m$。
根据矩形面积公式$S =长×宽$，已知$S = 60m^{2}$，可得方程：
$x(26 - 2x)=60$。
展开方程得$26x-2x^{2}=60$，移项化为标准的一元二次方程形式$2x^{2}-26x + 60 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-13x + 30 = 0$。
分解因式，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-13,c = 30)$，根据$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$或分解因式$(x - 3)(x - 10)=0$。
则$x - 3 = 0$或$x - 10 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=10$。
当$x = 3$时：
平行于墙的一边长$26-2x=26 - 2×3=20m$，因为墙长$16m$，$20\gt16$，不符合题意，舍去。
当$x = 10$时：
平行于墙的一边长$26-2x=26 - 2×10 = 6m$，$6\lt16$，符合题意。
所以鸡棚的长为$10m$，宽为$6m$。
2. （2）假设鸡棚面积能达到$90m^{2}$，设鸡棚垂直于墙的一边长为$y m$，则平行于墙的一边长为$(26 - 2y)m$。
根据面积公式可得方程$y(26 - 2y)=90$。
展开方程得$26y-2y^{2}=90$，移项化为标准的一元二次方程形式$2y^{2}-26y + 90 = 0$，两边同时除以$2$得$y^{2}-13y + 45 = 0$。
对于一元二次方程$ay^{2}+by + c = 0(a = 1,b=-13,c = 45)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
这里$\Delta=(-13)^{2}-4×1×45=169 - 180=-11\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以鸡棚的面积不能达到$90m^{2}$。
综上，（1）鸡棚的长为$10m$，宽为$6m$；（2）鸡棚的面积不能达到$90m^{2}$。