《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
在等补四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，连接 $AC$.
(1) 如图 1，求证：$AC$ 平分 $\angle BCD$；
(2) 如图 2，当 $\angle BAD = 90^{\circ}$，探索线段 $AC$、$BC$、$CD$ 之间的数量关系，并证明.

1 信息提取
利用条件 准确审题
$AB = AD$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$.
可将 $\triangle ACD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，使 $AD$ 与 $AB$ 重合
可延长 $CB$ 到点 $E$，使 $BE = CD$
2 思路精析
明确思路 快速解题
(1) 方法一：通过 $\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，可延长 $CB$ 到点 $E$，使 $BE = CD$，通过证明 $\triangle ADC\cong\triangle ABE$，从而可证 $AC$ 平分 $\angle BCD$；
方法二：通过 $AB = AD$，可将 $\triangle ADC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，使 $AD$ 与 $AB$ 重合，得到 $\triangle ABE$，可证 $C$、$B$、$E$ 三点在一条直线上，从而可证 $AC$ 平分 $\angle BCD$.
(2) 延长 $CB$ 使 $BE = DC$，连接 $AE$，由 (1) 可得 $\triangle ACE$ 为等腰三角形，由 $\angle BAD = 90^{\circ}$，可证 $\triangle ACE$ 为等腰直角三角形，即可解决问题.
3 超详解答
满分答案 规范答题
证明：(1) 方法一，如图 1，延长 $CB$ 到点 $E$，使 $BE = CD$，连接 $AE$.
$\because\angle ADC+\angle ABC = 180^{\circ}$，$\angle ABE+\angle ABC = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle ADC=\angle ABE$.
在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle ABE$ 中，
$\begin{cases}AD = AB,\\\angle ADC=\angle ABE,\\DC = BE,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle ABE(SAS)$.
$\therefore\angle ACD=\angle AEB$，$AC = AE$.
$\therefore\angle ACB=\angle AEB$.
$\therefore\angle ACD=\angle ACB$，即 $AC$ 平分 $\angle BCD$.
方法二，如图 1，将 $\triangle ADC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，使边 $AD$ 与边 $AB$ 重合，得到 $\triangle ABE$，
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle ABE$.
$\therefore\angle ADC=\angle ABE$，$\angle ACD=\angle AEB$，$AC = AE$.
$\because\angle ADC+\angle ABC = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle ABE+\angle ABC = 180^{\circ}$.
$\therefore$ 点 $C$、$B$、$E$ 在一条直线上.
$\because AC = AE$，
$\therefore\angle ACB=\angle AEB$.
$\therefore\angle ACD=\angle ACB$，即 $AC$ 平分 $\angle BCD$.
(2) $BC + CD=\sqrt{2}AC$. 证明如下：
如图 2，延长 $CB$ 到点 $E$，使 $BE = DC$，连接 $AE$，
由 (1) 得 $\triangle ACE$ 为等腰三角形，$\angle CAD=\angle EAB$，
$\therefore\angle DAB=\angle CAD+\angle CAB=\angle EAB+\angle CAB=\angle CAE = 90^{\circ}$.
$\therefore CE^{2}=AE^{2}+AC^{2}=2AC^{2}$.
$\therefore CE=\sqrt{2}AC$.
$\therefore BC + CD = BC + BE = CE=\sqrt{2}AC$，即 $BC + CD=\sqrt{2}AC$.

答案：
证明：
(1) 方法一，如图 1，延长 CB 到点 E，使 BE=CD，连接 AE.

∵∠ADC+∠ABC=180∘，∠ABE+∠ABC=180∘，

∴∠ADC=∠ABE.
在 △ADC 和 △ABE 中，
⎩⎨⎧​AD=AB,∠ADC=∠ABE,DC=BE,​

∴△ADC≅△ABE(SAS).

∴∠ACD=∠AEB，AC=AE.

∴∠ACB=∠AEB.

∴∠ACD=∠ACB，即 AC 平分 ∠BCD.
方法二，如图 1，将 △ADC 绕点 A 顺时针旋转，使边 AD 与边 AB 重合，得到 △ABE，

∴△ADC≅△ABE.

∴∠ADC=∠ABE，∠ACD=∠AEB，AC=AE.

∵∠ADC+∠ABC=180∘，

∴∠ABE+∠ABC=180∘.

∴ 点 C、B、E 在一条直线上.

∵AC=AE，

∴∠ACB=∠AEB.

∴∠ACD=∠ACB，即 AC 平分 ∠BCD.

(2) BC +CD =√2AC.证明如下:

如图2,延长CB到点E,使BE=DC，连接AE，

由
(1)得△ACE为等腰三角形，∠CAD-∠EAB,

∴ZDAB=∠CAD+∠CAB=∠EAB +ZCAB =∠CAE=90°.

∴.CE’ =AE’ +AC’=2AC".

∴CE -√2AC.

:
∴BC +CD=BC+BE =CE =√2AC,即BC+CD=√2AC.