《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求边BC上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。请根据小明的方法思考：

(1)求证：△ADC≌△EDB；
(2)AD的取值范围是1＜AD＜5。
1 信息提取
利用条件 准确审题
BD=CD
利用三角形的三边关系
如图，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求边BC上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。可得△ADC≌△EDB
2 思路精析
明确思路 快速解题
(1)要证三角形全等，即在三角形的三条边和三个角中寻找对应相等的条件→已知条件中已有BD=CD，DE=AD两个条件→需要再寻找一个条件→由对顶角相等得∠ADC=∠EDB，根据SAS即可得到答案；(2)由(1)中得到的全等三角形得到AC=BE=4，AE=2AD，再由三角形的三边关系即可求出答案。
3 超详解答
满分答案 规范答题
(1)证明：∵AD为边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD,\end{array}\right.$
∴△ADC≌△EDB(SAS)。
(2)解：由(1)知：△ADC≌△EDB，
∴AC=BE=4，AE=2AD。
∵在△ABE中，AB=6，BE=4，
由三角形的三边关系，得6−4＜AE＜6+4，即2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5。
学母题 找规律
当遇到三角形的中线条件无法使用时，可以通过延长中线成一倍，构造“8字”型全等三角形，从而解决问题。

答案：
(1)证明：
∵AD为边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD,\end{array}\right.$
∴△ADC≌△EDB(SAS)。
(2)解：由
(1)知：△ADC≌△EDB，
∴AC=BE=4，AE=2AD。
∵在△ABE中，AB=6，BE=4，
由三角形的三边关系，得6−4＜AE＜6+4，即2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5。