《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例?(1)[阅读与思考]为什么说/2不是有理数？
假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得√2=$\frac{p}{q}$,
两边平方,得2=($\frac{p}{q}$)2,即p2=2q².①
故p2是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.
设p=2s,代入①,得4s²=2q²,即q²=2s².
所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质.这与假设p和q互质矛盾.
这个矛盾说明，2不能写成分数的形式，即√②不是有理数.
(2)[运用并解决]类比上述的阅读与思考，推理说明/2不是有理数.
1信息提取利用条件准确审题
2不是有理数. 有理数可以表示为分数$\frac{p}{q}$形式(、q是互质的正整数)
2思路精析明确思路快速解题
(1)根据无理数的定义直接证明一个实数为无限不循环小数是非常困难的.由于任意一个
实数不是有理数就是无理数，所以要证明一个实数是无理数，只需要证明它不是有理数即
可，我们常常采用反证法.假设√2不是无理数，则√2必为有理数，设√2=$\frac{p}{q}$(p、q是互质的
正整数),两边平方可得到p²=2q²，再根据p、q均为偶数和p、q互质矛盾,即可得出结论.
(2)对于/2可以采用类似于(1)的方法证明.
3超详解答满分答案规范答题
(1)解:2q²,4s²=2q²,2s²;
(2)证明:假设/2是有理数,则存在两个互质的正整数m、n,使
得泻=$\frac{n}{m}$，于是有2m3=n²,
∵n3是2的倍数，∴n是2的倍数.
设n=2t(t是正整数),则n²=8t²,即8t3=2m3,
∴4t3=m².∴m也是2的倍数.
∴m、n都是2的倍数,不互质，与假设m、n互质矛盾.
∴假设错误..∴32不是有理数.

答案：
(1)解:2q²,4s²=2q²,2s²;
(2)证明:假设/2是有理数,则存在两个互质的正整数m、n,使
得泻=$\frac{n}{m}$，于是有2m3=n²,
∵n3是2的倍数，
∴n是2的倍数.
设n=2t(t是正整数),则n²=8t²,即8t3=2m3,
∴4t3=m².
∴m也是2的倍数.
∴m、n都是2的倍数,不互质，与假设m、n互质矛盾.
∴假设错误..
∴32不是有理数.