《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图，$ \triangle ABH $、$ \triangle BCG $、$ \triangle CDF $ 和 $ \triangle DAE $ 是四个全等的直角三角形，四边形 $ ABCD $ 和 $ EFGH $ 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理，设 $ AD = c $，$ AE = a $，$ DE = b $，取 $ c = 10 $，$ a - b = 2 $，则 $ (a + b)^2 = $196。

答案： 1.【思路精析】由题意可知$HE = a - b = 2$，可求得正方形$EFGH$的面积，进而求出四个直角三角形的面积和，再利用勾股定理求出$a^{2} + b^{2}$的值，则可求得答案。
【超详解答】解：$\because HE = a - b = 2$，
$\therefore S_{正方形EFGH} = HE^{2} = 4$。
$\because AD = c = 10$，
$\therefore S_{正方形ABCD} = AD^{2} = 100$。
$\therefore$四个直角三角形的面积和$= S_{正方形ABCD} - S_{正方形EFGH} = 100 - 4 = 96$，
$\therefore 4 × \frac{1}{2}ab = 96$，解得$2ab = 96$。
$\because a^{2} + b^{2} = c^{2} = 100$，
$\therefore (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = 100 + 96 = 196$。
故答案为：$196$。

2. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形 $ ABCD $、正方形 $ EFGH $、正方形 $ MNKT $ 的面积分别为 $ S_1 $、$ S_2 $、$ S_3 $，若 $ S_1 + S_2 + S_3 = 10 $，则 $ S_2 $ 的值是$\frac{10}{3}$。

答案： 2.【思路精析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解。
【超详解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，且$a ＞ b$，
由题意，可知$S_{1} = (a + b)^{2}$，$S_{2} = a^{2} + b^{2}$，$S_{3} = (a - b)^{2}$，
因为$S_{1} + S_{2} + S_{3} = 10$，
即$(a + b)^{2} + (a^{2} + b^{2}) + (a - b)^{2} = 10$，
所以$3(a^{2} + b^{2}) = 10$。
所以$3S_{2} = 10$。
所以$S_{2}$的值是$\frac{10}{3}$。
故答案为：$\frac{10}{3}$。

3. 如图，正方形 $ ABCD $、正方形 $ EFGH $、正方形 $ MNKT $ 的面积分别为 $ S_1 $、$ S_2 $、$ S_3 $。若正方形 $ EFGH $ 的边长为 4，求 $ S_1 + S_2 + S_3 $ 的值。

答案： 3.【思路精析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解。
【超详解答】解：在$Rt\triangle CFG$中，由勾股定理得$CG^{2} + CF^{2} = GF^{2}$，
$\because$八个直角三角形全等，四边形$ABCD$、四边形$EFGH$、四边形$MNKT$是正方形，
$\therefore CG = KG = FN$，$CF = DG = KF$。
$\therefore S_{1} = (CG + DG)^{2}$
$= CG^{2} + DG^{2} + 2CG · DG$
$= CG^{2} + CF^{2} + 2CG · DG$
$= GF^{2} + 2CG · DG$，
$S_{2} = GF^{2}$，
$S_{3} = (KF - NF)^{2}$
$= KF^{2} + NF^{2} - 2KF · NF$
$= KF^{2} + KG^{2} - 2DG · CG$
$= GF^{2} - 2CG · DG$，
$\because$正方形$EFGH$的边长为$4$，
$\therefore GF^{2} = 16$。
$\therefore S_{1} + S_{2} + S_{3} = GF^{2} + 2CG · DG + GF^{2} + GF^{2} - 2CG · DG = 3GF^{2} = 48$。