《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

1. 如图 1，$O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，分别延长 $OA$、$OD$ 到点 $F$、$E$，使 $OF = 2OA$，$OE = 2OD$，连接 $EF$。将 $\triangle EOF$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $\alpha$ 角得到 $\triangle E_{1}OF_{1}$（如图 2）。探究 $AE_{1}$ 与 $BF_{1}$ 的数量关系，并给予证明。

答案： 1.[思路精析]利用旋转不变量找到相等的角和线段,证得△E₁AO≌△F₁BO后即可证得结论.
[超详解答]AE₁ = BF₁. 证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA = OD = OB，AC⊥BD，OA = OB，
∴∠AOD = ∠AOB = 90°.
∵OF = 2OA，OE = 2OD，
∴OE = OF.
∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁，
∴OE₁ = OF₁，∠F₁OE₁ = 90°.
∵∠F₁OA + ∠F₁OB = ∠AOB = 90°，
又
∵∠F₁OA + ∠AOE₁ = ∠F₁OE₁ = 90°，
∴∠E₁OA = ∠F₁OB.
∵在△E₁OA和△F₁OB中，
$\begin{cases} OA = OB,\\ ∠E₁OA = ∠F₁OB,\\ OF₁ = OE₁,\end{cases}$
∴△E₁OA≌△F₁OB(SAS).
∴AE₁ = BF₁.

2. 过边长为 1 的正方形的中心 $O$ 引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 $A$、$B$ 两点，则线段 $AB$ 长的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{2} \leq AB \leq 1$。

答案：
2.[思路精析]设A、B分别是正方形MNPQ的边MN和NP上的点，根据等腰直角三角形的性质可求得AB = $\sqrt{2}$OA，由正方形的边长为1，可确定$\frac{1}{2} \leq OA \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$，从而不难求得AB的取值范围.
[超详解答]解:如图，设A、B分别是正方形MNPQ的边MN和NP上的点，

∵正方形MNPQ，
∴OM = ON，∠MNP = 90°，
MP⊥NQ，
∴∠MON = 90°.
∵在△MON中，OM = ON，
∴∠OMN = ∠ONM.
∵在△MON中，∠OMN + ∠ONM + ∠MON = 180°，
∴∠OMN = ∠ONM = 45°.
∴∠AOM + ∠AON = 90°.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB = 90°.
∴∠BON + ∠AON = 90°.
∴∠AOM = ∠BON.
∵在△AOM和△BON中，
$\begin{cases} ∠ONB = ∠AMO,\\ OM = OA,\\ ∠AOM = ∠BON,\end{cases}$
∴△AOM≌△BON(ASA).
∴OA = OB.
∴△AOB是等腰直角三角形.
∴AB = $\sqrt{2}$OA.
∵正方形MNPQ的边长是1，
∴OM = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点O到MN的距离等于$\frac{1}{2}$(点O到MN的垂线段的长度).
∴$\frac{1}{2} \leq OA \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴AB的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{2} \leq AB \leq 1$.
故答案为:$\frac{\sqrt{2}}{2} \leq AB \leq 1$.

3. 如图，已知有四个动点 $P$、$Q$、$E$、$F$ 分别从正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$、$B$、$C$、$D$ 同时出发，沿 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 以同样的速度匀速向 $B$、$C$、$D$、$A$ 移动。
(1) $PE$ 是否总过某一点，并说明理由；
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长为 2，求四边形 $PQEF$ 的最大面积和最小面积，并指出它的顶点分别位于何处。

答案：
3.[思路精析]
(1)证PE是否过定点时，可连接AC、PC、AE，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点；
(2)先证四边形PQEF是正方形.当OP⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，为原正方形面积的一半；当点P与顶点B重合时，四边形PQEF的面积最大，等于正方形ABCD的面积.
[超详解答]解:
(1)PE总过AC的中点，理由如下:
如图，连接AC，交PE于点O，连接PC、AE，

∵正方形ABCD，
∴AB//CD.
∵AP = EC，AP//EC，
∴四边形APCE为平行四边形.
∴O为对角线AC的中点.
∴对角线PE总过AC的中点.
(2)在正方形ABCD中，AP = BQ = CE = DF，
AB = BC = CD = DA，
∴BP = CQ = DE = AF.
又∠BAD = ∠B = ∠BCD = ∠D = 90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.
∴FP = PQ = QE = EF，∠APF = ∠BQP.
∵∠FPQ = 180° - (∠APF + ∠BPQ) = 180° - (∠BQP + ∠BPQ) = 90°，
∴四边形PQEF为正方形.
由
(1)可知正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，
当OP⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，为原正方形面积的一半，即为$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$；
当点P与顶点B重合时，四边形PQEF的面积最大，等于正方形ABCD的面积，即为$2 × 2 = 4$.