《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.类似的,连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线.

【方法探究】如图,在四边形 $ABCD$ 中,设 $AB ＜ CD$, $AB$ 与 $CD$ 不平行,$EF$ 是四边形 $ABCD$ 的中位线,请用两种方法证明: $\frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
1. 信息提取
利用条件 准确审题
$EF$ 是四边形 $ABCD$ 的中位线. 点 $E$ 是 $AD$ 的中点,点 $F$ 是 $BC$ 的中点
2. 思路精析
明确思路 快速解题
思路 1:取对角线 $AC$ 的中点 $M$,可得 $ME = \frac{1}{2}CD$, $MF = \frac{1}{2}AB$,再在 $\triangle MEF$ 中利用三角形三边关系即可证得结论;
思路 2:倍长 $AF$,将不规则的四边形的中位线 $EF$ 转化成 $\triangle ADG$ 的中位线,可得 $DG = 2EF$,再通过证三角形全等,可得 $AB = GC$,最后在 $\triangle DCG$ 中利用三角形三边关系即可证得结论;
思路 3:将四边形 $ABCD$ 绕点 $F$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到四边形 $A'CBD'$,将不规则的四边形中位线 $EF$ 转化成平行四边形的中位线,再在 $\triangle ABD'$ 中利用三角形三边关系即可证得结论.
3. 超详解答
满分答案 规范答题
证明:方法一,如图 1,连接 $AC$,取 $AC$ 的中点 $M$,连接 $ME$、$MF$.
$\because E$、$M$ 分别是 $AD$、$AC$ 的中点,
$\therefore ME // CD$,且 $ME = \frac{1}{2}CD$.
同理, $MF // AB$,且 $MF = \frac{1}{2}AB$.
$\because AB ＜ CD$, $\therefore MF ＜ ME$.
显然点 $E$、$M$、$F$ 不会共线(否则,由 $ME // CD$、$MF // AB$,可得 $AB // CD$ 与已知矛盾).
$\because$ 在 $\triangle MEF$ 中, $ME - MF ＜ EF ＜ ME + MF$,
$\therefore \frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
方法二,如图 2,连接 $AF$ 并延长至点 $G$,使 $FG = AF$,连接 $CG$、$DG$,
$\because E$、$F$ 分别是 $AD$、$AG$ 的中点,
$\therefore EF // DG$,且 $DG = 2EF$.
$\because$ 点 $F$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore FB = FC$.
在 $\triangle AFB$ 和 $\triangle GFC$ 中, $\begin{cases} FB = FC, \\ \angle AFB = \angle GFC, \\ FA = FG, \end{cases}$
$\therefore \triangle AFB \cong \triangle GFC(SAS)$. $\therefore AB = GC$.
显然点 $D$、$C$、$G$ 不会共线(否则,由 $EF // CD$、$CG // AB$,可得 $AB // CD$ 与已知矛盾)
$\because$ 在 $\triangle DCG$ 中, $CD - CG ＜ DG ＜ CD + CG$,
$\therefore \frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
方法三,如图 3,将四边形 $ABCD$ 绕点 $F$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到四边形 $A'CBD'$,连接 $AD'$、$DA'$、$E'F$,
则四边形 $ADA'D'$、$AEE'D'$、$EDA'E'$ 都是平行四边形,
$\therefore EF = \frac{1}{2}EE'$, $EE' = AD' = A'D = 2EF$, $DC = BD'$.
显然点 $A$、$B$、$D'$ 不会共线(否则,由 $BD' // CD$,可得 $AB // CD$ 与已知矛盾).
$\because$ 在 $\triangle ABD'$ 中, $BD' - AB ＜ AD' ＜ BD' + AB$,
$\therefore \frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
学母题 找规律
当条件中出现两个及以上中点问题时,通常利用三角形中位线的性质来解决.

答案：
1. 信息提取
利用条件 准确审题
$EF$ 是四边形 $ABCD$ 的中位线. 点 $E$ 是 $AD$ 的中点,点 $F$ 是 $BC$ 的中点
2. 思路精析
明确思路 快速解题
思路 1:取对角线 $AC$ 的中点 $M$,可得 $ME = \frac{1}{2}CD$, $MF = \frac{1}{2}AB$,再在 $\triangle MEF$ 中利用三角形三边关系即可证得结论;
思路 2:倍长 $AF$,将不规则的四边形的中位线 $EF$ 转化成 $\triangle ADG$ 的中位线,可得 $DG = 2EF$,再通过证三角形全等,可得 $AB = GC$,最后在 $\triangle DCG$ 中利用三角形三边关系即可证得结论;
思路 3:将四边形 $ABCD$ 绕点 $F$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到四边形 $A'CBD'$,将不规则的四边形中位线 $EF$ 转化成平行四边形的中位线,再在 $\triangle ABD'$ 中利用三角形三边关系即可证得结论.
3. 超详解答
满分答案 规范答题
证明:方法一,如图 1,连接 $AC$,取 $AC$ 的中点 $M$,连接 $ME$、$MF$.
$\because E$、$M$ 分别是 $AD$、$AC$ 的中点,
$\therefore ME // CD$,且 $ME = \frac{1}{2}CD$.
同理, $MF // AB$,且 $MF = \frac{1}{2}AB$.
$\because AB ＜ CD$, $\therefore MF ＜ ME$.
显然点 $E$、$M$、$F$ 不会共线(否则,由 $ME // CD$、$MF // AB$,可得 $AB // CD$ 与已知矛盾).
$\because$ 在 $\triangle MEF$ 中, $ME - MF ＜ EF ＜ ME + MF$,
$\therefore \frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
方法二,如图 2,连接 $AF$ 并延长至点 $G$,使 $FG = AF$,连接 $CG$、$DG$,
$\because E$、$F$ 分别是 $AD$、$AG$ 的中点,
$\therefore EF // DG$,且 $DG = 2EF$.
$\because$ 点 $F$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore FB = FC$.
在 $\triangle AFB$ 和 $\triangle GFC$ 中, $\begin{cases} FB = FC, \\ \angle AFB = \angle GFC, \\ FA = FG, \end{cases}$
$\therefore \triangle AFB \cong \triangle GFC(SAS)$. $\therefore AB = GC$.
显然点 $D$、$C$、$G$ 不会共线(否则,由 $EF // CD$、$CG // AB$,可得 $AB // CD$ 与已知矛盾)
$\because$ 在 $\triangle DCG$ 中, $CD - CG ＜ DG ＜ CD + CG$,
$\therefore \frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
方法三,如图 3,将四边形 $ABCD$ 绕点 $F$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到四边形 $A'CBD'$,连接 $AD'$、$DA'$、$E'F$,
则四边形 $ADA'D'$、$AEE'D'$、$EDA'E'$ 都是平行四边形,
$\therefore EF = \frac{1}{2}EE'$, $EE' = AD' = A'D = 2EF$, $DC = BD'$.
显然点 $A$、$B$、$D'$ 不会共线(否则,由 $BD' // CD$,可得 $AB // CD$ 与已知矛盾).
$\because$ 在 $\triangle ABD'$ 中, $BD' - AB ＜ AD' ＜ BD' + AB$,
$\therefore \frac{1}{2}(CD - AB) ＜ EF ＜ \frac{1}{2}(CD + AB)$.
学母题 找规律
当条件中出现两个及以上中点问题时,通常利用三角形中位线的性质来解决.