《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

2. 如图，在△ABC 中，AB = BC = AC = 12 cm，现有两点 M、N 分别从点 A、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为 1 cm/s，点 N 的速度为 2 cm/s. 当点 N 第一次到达点 B 时，M、N 两点同时停止运动. 点 M、N 运动几秒时，可得到等边三角形 AMN？

答案： 2.[思路精析]根据题意设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM、AN
的长，因为∠A=60°,所以只要AM=AN，△AMN就是等边三角形.
[超详解答]解:设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN,AM=t×1=tcm,AN=AB−BN=(12−2t)cm,
∵△AMN是等边三角形，
∴t=12−2t,解得t=4,
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN.

3. 操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料：

① 如图 1 - ①，把正方形 ABCD 对折后再展开，折痕为 EF；
② 如图 1 - ②，将点 A 翻折到 EF 上的点 A'处，且使折痕过点 B；
③ 如图 1 - ③，沿 A'C 折叠，得△A'BC(如图 1 - ④).
(1) 根据以上操作，试证明△A'BC 是等边三角形；
(2) 折叠过程中，该小组惊喜地发现了一种折正方形边长三等分点的方法：如图 2，若将 AB 沿 BE 翻折到 BP 位置，延长 EP 交 CD 于点 Q，则点 Q 是正方形边 CD 的三等分点. 试证明该小组的发现.

答案：
3.[思路精析]
(1)根据正方形的性质得到AB=BC,根据折叠的性质得到A'C=A'B,AB=A'B，根据等边三角形的判定定理即可得到结论;
(2)连接BQ,证明Rt△BPQ≌Rt△BCQ(HL),由全等三角形的性质得出PQ=CQ.设AE=a，则DE=EP=a,设PQ=CQ=x,则DQ=2a−x，由勾股定理可得出结论.
[超详解答]证明:
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC.
∵正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF,
∴EF垂直平分BC.
∴A'C=A'B.
∵将点A翻折到EF上的点A'处，
∴AB=A'B.
∴A'B=BC.
∴A'B=BC=A'C.
∴△A'BC是等边三角形.
(2)如图，连接BQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°,AB=AD=DC=BC.
由折叠知AB=BP,AE=DE=EP,∠A=∠BPE=∠BPQ=90°.
∴AB=BC=BP,∠BPQ=∠C=90°.

在Rt△BPQ和Rt△BCQ中，$\begin{cases}BQ = BQ, \\\\ BP = BC,\end{cases}$
∴Rt△BPQ≌Rt△BCQ(HL).
∴PQ=CQ.
设AE=a,则DE=EP=a,
设PQ=CQ=x,则DQ=2a−x,
在Rt△EDQ中,DE²+DQ²=EQ²,
∴a²+(2a−x)²=(a+x)²,解得x=$\frac{2a}{3}$.
∴CQ=$\frac{1}{3}$CD，即点Q是CD的三等分点.