《2025年玩转母题八年级数学全一册人教版》

例 在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，直线 MN 经过点 C，且 AD ⊥ MN 于点 D，BE ⊥ MN 于点 E.
(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：
① △ADC ≌ △CEB；② DE = BE + AD；
(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，AD = 5，BE = 2，求线段 DE 的长.
1 信息提取
利用条件 准确审题
△ABC 是等腰直角三角形
M、N、C 三点共线，且∠ACD + ∠BCE = 90°
在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，直线 MN 经过点 C，且 AD ⊥ MN 于点 D，BE ⊥ MN 于点 E.
∠ADC = ∠CEB = 90°，∠ACD + ∠CAD = 90°，∠CBE + ∠BCE = 90°
2 思路精析
明确思路 快速解题
本质是寻找全等三角形：(1) ① 要证三角形全等，即在三角形的三条边和三个角中寻找对应相等的条件→已知条件中有∠ADC = ∠CEB = 90°，AC = BC 两个条件→需要再寻找一个条件→因为∠ACD + ∠BCE = 90°，∠ACD + ∠CAD = 90°，推出∠CAD = ∠BCE，根据 AAS 即可证得答案；② 由①得到 AD = CE，CD = BE，DE = CD + CE，等量代换即可证得答案. (2) 可先证出∠ACD = ∠CBE，推出△ADC ≌ △CEB，得到 AD = CE，CD = BE，再代入已知即可得到答案.
3 超详解答
满分答案 规范答题
(1) 证明：① ∵AD ⊥ MN，BE ⊥ MN，∴∠ADC = ∠CEB = 90°. ∴∠ACD + ∠CAD = 90°. ∵∠ACB = 90°，∴∠ACD + ∠BCE = 90°. ∴∠CAD = ∠BCE. 在△ADC 和△CEB 中，∵∠ADC = ∠CEB，∠CAD = ∠BCE，AC = CB，∴△ADC ≌ △CEB(AAS).
② 由①知：△ADC ≌ △CEB，∴AD = CE，CD = BE. ∵DE = CD + CE，∴DE = BE + AD.
(2) 解：∵AD ⊥ MN，BE ⊥ MN，∴∠ADC = ∠CEB = 90°. ∴∠CBE + ∠ECB = 90°. ∵∠ACB = 90°，∴∠ECB + ∠ACD = 90°. ∴∠ACD = ∠CBE. 在△ADC 和△CEB 中，∵∠ACD = ∠CBE，∠ADC = ∠CEB，AC = CB，∴△ADC ≌ △CEB(AAS). ∴AD = CE，CD = BE. ∴DE = CE - CD = AD - BE = 5 - 2 = 3.
学母题 找规律
当一条直线上出现三个角相等，且有一组边相等时，往往可以得到两个三角形全等，我们常把有这样特征的图形称为“一线三等角”模型.

答案： 1) 证明：①
∵AD ⊥ MN，BE ⊥ MN，
∴∠ADC = ∠CEB = 90°.
∴∠ACD + ∠CAD = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠BCE = 90°.
∴∠CAD = ∠BCE. 在△ADC 和△CEB 中，
∵∠ADC = ∠CEB，∠CAD = ∠BCE，AC = CB，
∴△ADC ≌ △CEB(AAS).
② 由①知：△ADC ≌ △CEB，
∴AD = CE，CD = BE.
∵DE = CD + CE，
∴DE = BE + AD.
(2) 解：
∵AD ⊥ MN，BE ⊥ MN，
∴∠ADC = ∠CEB = 90°.
∴∠CBE + ∠ECB = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠ECB + ∠ACD = 90°.
∴∠ACD = ∠CBE. 在△ADC 和△CEB 中，
∵∠ACD = ∠CBE，∠ADC = ∠CEB，AC = CB，
∴△ADC ≌ △CEB(AAS).
∴AD = CE，CD = BE.
∴DE = CE - CD = AD - BE = 5 - 2 = 3.